Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com
, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma raiz real de
usando o método da Iteração Linear (ou ponto-fixo), com precisão
Conteúdo: método de ponto-fixo.
O que precisamos:
1. Reescrever
2. Escolher um chute inicial
3. Verificar convergência (
4. Iterar até
Passo 2
Vamos reescrever
isolando o
dentro de um logaritmo. Uma boa escolha é:
logo definimos
Para o chute inicial, note que
e
, então a raiz está entre 0.5 e 0.6. Vou pegar
Passo 3
Teoria rápida de convergência: a iteração
converge se, no intervalo onde a gente está iterando,
Calculemos
$$\phi’(x)=\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac12\ln(3-x^2)\Bigr]
=\frac12\cdot\frac{-2x}{3-x^2}
=-\frac{x}{3-x^2}\ .$$
No nosso intervalo [0.5,0.6], por exemplo, .
Então tá garantida a convergência.
No nosso intervalo [0.5,0.6], por exemplo,
Então tá garantida a convergência.
Passo 4
Agora é só iterar até a diferença entre passos cair abaixo de
.
Como
, paramos.
Resposta
Uma aproximação da raiz, com
, é