Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com epsilon <= 10^-3, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz x0.
f(x)=x^2+e^2 x-3=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma raiz real de
f(x)=x^2+e^2x-3=0
usando o método da Iteração Linear (ou ponto-fixo), com precisão epsilon<=10^-3.
Conteúdo: método de ponto-fixo.
O que precisamos:
1. Reescrever f(x)=0 como x=phi(x).
2. Escolher um chute inicial x0.
3. Verificar convergência ( |phi'(x)|<1 na vizinhança da raiz).
4. Iterar até |xn+1-xn|<=10^-3.

Passo 2

Vamos reescrever x^2+e^2x-3=0 isolando o x dentro de um logaritmo. Uma boa escolha é:
x^2 + e^2x=3 Longrightarrow e^2x=3-x^2 Longrightarrow 2x=ln(3-x^2) ,
logo definimos
phi(x)=tfrac12lnl(3-x^2r)
Para o chute inicial, note que f(0.5)=-0.032 e f(0.6)=0.306, então a raiz está entre 0.5 e 0.6. Vou pegar
x0=0.5

Passo 3

Teoria rápida de convergência: a iteração
xn+1=phi(xn)
converge se, no intervalo onde a gente está iterando, |phi'(x)|<1.
Calculemos
$$\phi’(x)=\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac12\ln(3-x^2)\Bigr]
=\frac12\cdot\frac{-2x}{3-x^2}
=-\frac{x}{3-x^2}\ .$$
No nosso intervalo [0.5,0.6], por exemplo, phi'(x)=ddxl[tfrac12ln(3-x^2)r] =12cdot-2x3-x^2 =-x3-x^2 .
Então tá garantida a convergência.

Passo 4

Agora é só iterar até a diferença entre passos cair abaixo de 10^-3.
  1. x0=0.5000
  2. x1=tfrac12ln(3-0.5^2)=0.5058(,|x1-x0|=0.0058,)
  3. x2=tfrac12ln(3-0.5058^2)=0.5046(,|x2-x1|=0.0012,)
  4. x3=tfrac12ln(3-0.5046^2)=0.5050(,|x3-x2|=0.0004,)
Como |x3-x2|approx4times10^-4<10^-3, paramos.

Resposta

Uma aproximação da raiz, com epsilon<=10^-3, é
xapprox0.5050,

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