Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com
, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar pelo menos uma raiz real da equação
usando o método da Iteração Linear (fixed‐point). Isso quer dizer que a gente vai:
- reescrever a equação na forma
, - escolher um chute inicial
, - iterar
até que a diferença (aqui ).
Pra isso, é bom saber o que é uma função contrativa (ela faz o método convergir) e como parar a iteração com base na tolerância.
Passo 2
Vamos isolar
em
Ou seja, escolhemos
Por que isso funciona?
- Se
for “contrativa” num intervalo onde está nossa raiz, então a sequência converge. - A derivada é
Num valor perto de
, dá pra ver que
. Então escolhemos o chute inicial simples
Passo 3
Agora iteramos até
.
-
:
Diferença:
. Ainda longe de
.
-
:
Diferença:
. Ainda >
.
-
:
Diferença:
Pronto, atingimos a tolerância!
Pronto, atingimos a tolerância!
Resposta
Uma aproximação da raiz real, com erro inferior a
, é