Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com epsilon <= 10^-3, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz x0.
f(x)=3 x^4-x-3=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar pelo menos uma raiz real da equação
f(x)=3x^4 - x - 3 = 0
usando o método da Iteração Linear (fixed‐point). Isso quer dizer que a gente vai:
  1. reescrever a equação na forma ,
  2. escolher um chute inicial ,
  3. iterar até que a diferença (aqui ).
Pra isso, é bom saber o que é uma função contrativa (ela faz o método convergir) e como parar a iteração com base na tolerância.

Passo 2

Vamos isolar 3x^4 - x - 3 = 0 Longrightarrow x^4 = x+33 Longrightarrow x = raiz[4]x+33 em
g(x) ;=;l(tfracx+33r)^1/4
Ou seja, escolhemos
g'(x) =14l(tfracx+33r)^-3/4cdot13 =112l(tfracx+33r)^-3/4
Por que isso funciona?
  • Se x0 = 1 for “contrativa” num intervalo onde está nossa raiz, então a sequência converge.
  • A derivada é
Num valor perto de , dá pra ver que . Então escolhemos o chute inicial simples

Passo 3

Agora iteramos até x1 = g(x0) = l(tfrac1+33r)^1/4 = l(tfrac43r)^1/4 approx 1.0746 .
  1. x2 = g(x1) = l(tfrac1.0746 + 33r)^1/4 = l(1.3582r)^1/4 approx 1.0798 :
x3 = g(x2) = l(tfrac1.0798 + 33r)^1/4 = l(1.3599r)^1/4 approx 1.0801
Diferença: . Ainda longe de .
  1. :
Diferença: . Ainda > .
  1. :
Diferença:
Pronto, atingimos a tolerância!

Resposta

Uma aproximação da raiz real, com erro inferior a boxedx approx 1,0801 , é

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