Um paraquedista realizou cinco saltos de alturas distintas. Foi testa a precisão de seus saltos para um alvo de raio 5 m , em relação à altura. A tabela a seguir mostra a distância, em metros, do ponto que o paraquedista tocou o solo ao centro do alvo.
Altura (m) 1500 1250 1000 750 500
Distância ao centro alvo (m) 35 25 15 10 7
Encontre a provável distância do centro do alvo se este parequedista saltasse a uma altura de 850 m , usando a forma de Lagrange.

Passo 1

Beleza! A questão nos dá cinco saltos de paraquedista em alturas diferentes e as distâncias em que ele caiu longe do centro de um alvo. Queremos estimar qual seria essa distância se ele saltasse de 850 m, usando interpolação polinomial de Lagrange.
Conteúdo: Interpolação polinomial (fórmula de Lagrange).
O que vamos precisar:
  • A fórmula geral do polinômio de Lagrange
  • Calcular, para cada ponto , o “peso” em
  • Somar para achar

Passo 2

Antes de tudo, lembre a fórmula de Lagrange para um polinômio de grau P(x);=;sumi=0^n yi,Li(x), Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^nx - xjxi - xj que passa pelos pontos , :
Aqui temos (cinco pontos). Vamos usar isso para .

Passo 3

Organizando nossos dados em ordem crescente de x0 &= 500,; y0 = 7, x1 &= 750,; y1 = 10, x2 &= 1000,;y2 = 15, x3 &= 1250,;y3 = 25, x4 &= 1500,;y4 = 35 :

Passo 4

Calcular cada L2(850) =prodjneq2850 - xj1000 - xj =(850-500)(850-750)(850-1250)(850-1500) (1000-500)(1000-750)(1000-1250)(1000-1500) . Vou mostrar o de L2(850)approx9,1015,625approx0,5824 como exemplo e resumir os demais:
Para L0(850)&approx -0,0416, L1(850)&approx 0,5824, L2(850)&approx 0,5824, L3(850)&approx -0,1456, L4(850)&approx 0,0224 (ponto ):
Numerador:
Denominador:
Logo
Fazendo a mesma conta para cada , achamos:

Passo 5

Agora monta P(850) &=7cdot(-0,0416) +10cdot0,5824 +15cdot0,5824 &+25cdot(-0,1456) +35cdot0,0224 &approx -0,2912 +5,824 +8,736 -3,640 +0,784 &approx 11,4128 :

Resposta

A distância provável ao centro do alvo, para um salto de 850 m, é de aproximadamente 11,41 m.

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