Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com epsilon <= 10^-3, usando o método da Falsa Posição. Para tanto, determine antes um intervalo de convergência para a raiz [a, b] que obedeça aos critérios do teorema de Bolzano.
f(x)=2 x^3+x^2-2=0

Passo 1

O que a gente tem que fazer? Calcular uma raiz real da equação
f(x)=2x^3 + x^2 - 2 = 0
usando o método da Falsa Posição (Regula Falsi) até obter erro epsilon <= 10^-3.
Conteúdo: método numérico de raiz de função, teorema de Bolzano e fórmula da Falsa Posição.
O que vamos precisar:
- Encontrar um intervalo [a,b] tal que f(a)cdot f(b)<0 (teorema de Bolzano).
- Fórmula da Falsa Posição:
xr = a,f(b) - b,f(a)f(b) - f(a)
  • Critério de parada: |f(xr)|<=epsilon ou |xr - xanterior|<=epsilon.

Passo 2

Usando Bolzano: teste valores simples até achar sinais opostos.
  • f(0)=2cdot0^3+0^2-2=-2 (negativo)
  • f(1)=2cdot1^3+1^2-2=1 (positivo)
    Como f(0)cdot f(1)<0, tem raiz em [0,1].

Passo 3

Agora a Falsa Posição. Vamos iterar até epsilon=10^-3.
Definimos inicialmente a0=0, b0=1. Em cada iteração k:
  1. Calcula xk = ak-1,f(bk-1) - bk-1,f(ak-1)f(bk-1) - f(ak-1)
    2. Avalia f(xk).
    3. Se f(ak-1)cdot f(xk)<0, então a raiz fica em [ak-1,xk] (logo ak=ak-1,,bk=xk).
    Se f(xk)cdot f(bk-1)<0, toma ak=xk,,bk=bk-1.
    4. Checa o critério de parada.

Passo 4

Vamos às contas (aprox. 4 casas decimais para clareza):
Iteração 1:
a₀=0, b₀=1
x1 = 0cdot f(1)-1cdot f(0)f(1)-f(0) = -(-2)1-(-2) = 23approx0.6667
f(x1)=2(0.6667)^3+(0.6667)^2-2approx-0.9630 (negativo)
Sinal de f(x1) é igual ao de f(0), então novo intervalo [a1,b1]=[0.6667,1].
Iteração 2:
a₁≈0.6667, b₁=1
x2=0.6667cdot1 - 1cdot(-0.9630)1-(-0.9630)approx0.8303
f(x2)approx-0.1658 (negativo)
Raiz em [0.8303,1].
Iteração 3:
a₂≈0.8303, b₂=1
x3approx0.8547, f(x3)approx-0.0205
Raiz em [0.8547,1].
Iteração 4:
a₃≈0.8547, b₃=1
x4approx0.8576, f(x4)approx-0.0039
Raiz em [0.8576,1].
Iteração 5:
a₄≈0.8576, b₄=1
x5approx0.8580, f(x5)approx-0.0011
Ainda |f(x5)|>10^-3, mas já bem próximo.
Iteração 6:
a₅≈0.8580, b₅=1
x6approx0.8581, f(x6)approx-0.0004
Agora |f(x6)|<10^-3 e |x6-x5|approx0.0001<10^-3. Parou!

Resposta

Uma aproximação da raiz real é
x approx 0.8581(epsilon <= 10^-3)

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