Exercício
A tabela
ccccccccccccc hline$t$ & 0.0 & 0.8 & 1.3 & 2.5 & 3.3 & 4.0 & 5.4 & 6.1 & 7.3 & 8.4 & 9.5 & 10.0 hline$v(t)$ & 0.00 & 0.31 & 0.79 & 2.50 & 3.70 & 4.52 & $[4.92]$ & 4.43 & 2.81 & 1.16 & 0.12 & 0.00 hline$v^prime(t)$ & 0.00 & 0.76 & 1.15 & 1.57 & 1.38 & 0.92 & -0.39 & -1.00 & -1.56 & -1.33 & -0.49 & 0.00 hline Sacceracã 0.0 0.8 1.3 2.5 3.3 4.0 5.4 6.1 7.3 8.4 9.5 10.0
v(t) 0.00 0.31 0.79 2.50 3.70 4.52 v(t)=alpha1+alpha2 cos (t)+alpha3 sen(t) 4.43 2.81 1.16 0.12 0.00
v(t) 0.00 0.76 1.15 1.57 1.38 0.92 -0.39 -1.00 -1.56 -1.33 -0.49 0.00
Sacceracã
apresenta a velocidade (em metros por segundo) de um corpo em função do tempo (em segundos). Esse corpo saiu do repouso até atingir uma velocidade máxima e depois essa velocidade começou a reduzir até atingir o repouso conforme pode-se notar na tabela. Ajuste a função velocidade dessa tabela por uma função da forma
Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução. Utilize a função de ajuste obtida, trabaIhando sempre com 4 casas decimais, para responder os itens abaixo:

Passo 1

Beleza, temos uma tabela de 12 pontos v(t)=alpha1+alpha2cos t+alpha3sin t e queremos “encaixar” esses dados numa função do tipo
Isso faz parte de Ajuste de Curvas (Mínimos Quadrados). Vamos precisar:
  • Calcular somas envolvendo .
  • Montar e resolver o sistema de equações normais.

Passo 2

Teoria rápida de Mínimos Quadrados: para modelo linear em parâmetros
v(t)=alpha1,phi1(t)+alpha2,phi2(t)+alpha3,phi3(t)
com sumiphij(ti),l[vi-sumkalphakphik(ti)r]=0 (j=1,2,3), , as equações normais são
Nalpha1+(sumcos ti)alpha2+(sumsin ti)alpha3=sum vi, (sumcos ti)alpha1+(sumcos^2ti)alpha2+(sumcos tisin ti)alpha3=sum vicos ti, (sumsin ti)alpha1+(sumcos tisin ti)alpha2+(sumsin^2ti)alpha3=sum visin ti
Isso leva a um sistema 3×3:

Passo 3

Calculamos (tudo com 4 casas decimais):
N=12
sumcos ti&=-0.6894, &sumsin ti&=1.5056, &sum vi&=25.2600, sum vicos ti&=0.0581, &sum visin ti&=-2.7247, sumcos^2ti&=7.2213, &sumsin^2ti&=4.7782, &sumcos tisin ti&=0.7981

Passo 4

Substituindo nas equações normais dá o sistema
12,alpha1-0.6894,alpha2+1.5056,alpha3=25.2600, -0.6894,alpha1+7.2213,alpha2+0.7981,alpha3=0.0581, 1.5056,alpha1+0.7981,alpha2+4.7782,alpha3=-2.7247

Passo 5

Resolvendo (eliminação ou regra de Cramer) obtemos, com 4 casas decimais:
alpha1=2.2970, alpha2=0.3776, alpha3=-1.3574

Resposta

A função que ajusta a tabela é
boxed% v(t)=2.2970;+;0.3776cos t;-;1.3574sin t,%

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