Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com epsilon <= 10^-3, usando o método da Falsa Posição. Para tanto, determine antes um intervalo de convergência para a raiz [a, b] que obedeça aos critérios do teorema de Bolzano.
f(x)=sen x-ln x=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma raiz real da equação
usando o método da Falsa Posição, com tolerância f(x) = sen x - ln x = 0 .
Conteúdo envolvido:
  1. Teorema de Bolzano (pra encontrar um intervalo inicial em que e tenham sinais opostos).
  2. Método da Falsa Posição (regula falsi), que faz uma interpolação linear entre os pontos e .

Passo 2

Primeiro, Bolzano manda achar f(a)cdot f(b) < 0 e tais que
Testando valores:
Como os sinais são opostos, podemos usar .

Passo 3

Agora vem a Falsa Posição. A ideia é: no gráfico de c = b - f(b),b-a,f(b)-f(a), , ligamos |ck - ck-1| <= 10^-3 a com uma reta e achamos onde essa reta cruza o eixo . Esse ponto é
Em seguida, substituímos um dos extremos (aquele cujo valor de tem o mesmo sinal de ) por , e repetimos até a raiz estabilizar dentro da tolerância . Como critério aqui, vamos usar

Passo 4

Vamos iterar:
  1. Iteração 1
    a₀ = 2, b₀ = 3
    f(a₀)=+0,216; f(b₀)=−0,958
    c₁ = 3 - (-0,958)3-2-0,958-0,216 approx 2,184,
    f(c₁)=.
    Como f(a₀)⋅f(c₁)>0, trocamos a₀ por c₁:
    → a₁=2,184; b₁=3.
  2. Iteração 2
    f(a₁)=+0,037; f(b₁)=−0,958
    c₂ = 3 - (-0,958)3-2,184-0,958-0,037 approx 2,214,
    f(c₂)≈+0,005 → mantém sinal com f(a₁), então a₂=2,214.
  3. Iteração 3
    f(a₂)=+0,005; f(b₂)=−0,958
    c₃approx 2,218, f(c₃)approx +0,0008
    (a₃=2,218)
  4. Iteração 4
    f(a₃)=+0,0008; f(b₃)=−0,958
    c₄approx 2,219, f(c₄)approx -0,0003
    A diferença já atende .

Resposta

Aproximando a raiz com o método da Falsa Posição e boxedx approx 2,219 , obtemos

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