Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com epsilon <= 10^-3, usando o método da Falsa Posição. Para tanto, determine antes um intervalo de convergência para a raiz [a, b] que obedeça aos critérios do teorema de Bolzano.
f(x)=x^3-e^2 x+3=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, com erro menor que f(x) = x^3 - e^2x + 3 = 0 , ao menos uma raiz real da função
usando o método da Falsa Posição.
Conteúdo principal:
  • Teorema de Bolzano (para achar um intervalo onde a função troca de sinal).
  • Método da Falsa Posição (regra de atualização do ponto intermediário).

Passo 2

Aplicar o Teorema de Bolzano para achar f(0)=0^3 - e^0 +3 = -1+3 = 2 >0 com f(1)=1^3 - e^2 +3 =4 - e^2 approx 4 - 7.389 = -3.389 <0 :
  1. Testa em :
  2. Testa em :
Como , existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora usamos o método da Falsa Posição. A ideia é aproximar a raiz por
xr = b - f(b),a - bf(a) - f(b)
Depois de cada cálculo de , escolhemos o novo intervalo mantendo o sinal trocado:
  • Se , substituímos .
  • Se , substituímos .
Continuamos até .

Passo 4

Vamos às iterações (com a0=0,;b0=1,; x1 = 1 - l(-3.389l)0-12 - (-3.389) approx 0.3711, ):
  1. Iteração 1:
    f(x1)approx 0.9511>0 ;Rightarrow; [a1,b1]=[0.3711,,1]
    x2 = 1 - (-3.389)0.3711-10.9511-(-3.389) approx 0.5086,
  2. Iteração 2:
    f(x2)approx 0.3666>0 ;Rightarrow; [a2,b2]=[0.5086,,1]
    x3 approx 0.5570, f(x3)approx0.126>0 ;Rightarrow; [a3,b3]=[0.5570,,1]
  3. Iteração 3:
    x4 approx 0.5729, f(x4)approx0.042>0 ;Rightarrow; [a4,b4]=[0.5729,,1]
  4. Iteração 4:
    x5 approx 0.5777, f(x5)approx0.016>0 ;Rightarrow; [a5,b5]=[0.5777,,1]
  5. Iteração 5:
    x6 approx 0.5797, f(x6)approx0.007>0 ;Rightarrow; [a6,b6]=[0.5797,,1]
  6. Iteração 6:
    x7 approx 0.5806, f(x7)approx0.002>0
  7. Iteração 7:
    |x7 - x6| approx |0.5806 - 0.5797| = 0.0009 < 10^-3,
    Agora
    então paramos.

Resposta

Aproximadamente, uma raiz real de boxedx approx 0.5806, é
com erro menor que .

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