(1,0 ponto) O método da eliminação Gaussiana de um sistema de equações lineares usa a propriedade de equivalência de sistema, para eliminar progressivamente as variáveis até chegar a uma equação de uma variável. Uma solução para aumentar a precisão do resultado obtido pelo método da eliminação de Gauss é a utilização da condensação pivotal.
Qual das alternativas abaixo cita corretamente finalidades do método da eliminação Gaussiana com condensação pivotal de um sistema de equações lineares.
a) Minimizar o erro por arredondamento, não evitar a divisão por zero e aumentar a probabilidade de erros.
b) Maximizar o erro por truncamento, testar a singularidade do sistema e aumentar a probabilidade de erros.
c) Melhorar o erro de arredondamento e truncamento, diminuir o esforço computacional quando necessário o uso do computador e melhorar a simplificação do modelo matemático.
d) Minimizar o erro de arredondamento, evitar a divisão por zero e testar a singularidade do sistema.
e) Minimizar o erro por truncamento, maximizar o erro de arredondamento e melhorar a simplificação do modelo matemático.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão fala sobre o método da eliminação Gaussiana, que é uma técnica usada para resolver sistemas de equações lineares. Especificamente, ela menciona a utilização da “condensação pivotal”, que na verdade se refere à eliminação de Gauss com pivotamento parcial. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações, métodos de resolução e erros numéricos. Nosso objetivo é identificar qual das alternativas descreve corretamente as finalidades desse método com pivotamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é eliminação Gaussiana com pivotamento parcial. Esse método não só elimina as variáveis progressivamente para resolver o sistema, mas também escolhe o melhor “pivô” (ou seja, o maior elemento da coluna em consideração) para minimizar erros numéricos, como os de arredondamento. Isso ajuda a evitar divisões por números muito pequenos, o que pode causar grandes erros nos cálculos.

Passo 3

Agora, vamos analisar as possíveis finalidades desse método:
  1. Minimizar o erro de arredondamento: Usar o maior pivô reduz a propagação dos erros de arredondamento durante os cálculos.
  2. Evitar a divisão por zero: Ao escolher o maior pivô, garantimos que não estaremos dividindo por zero ou por um número muito próximo de zero.
  3. Testar a singularidade do sistema: Se não houver um pivô adequado em alguma etapa, isso pode indicar que o sistema é singular (não tem solução única).

Passo 4

Vamos verificar cada alternativa com base nessas finalidades:
  • a) Fala em minimizar erro por arredondamento, mas diz que não evita divisão por zero e aumenta a probabilidade de erros. Isso está incorreto porque o método justamente evita a divisão por zero.
  • b) Menciona maximizar erros, o que vai contra o propósito do método, então também está errada.
  • c) Embora mencione melhorar erros de arredondamento e truncamento, adiciona pontos como diminuir o esforço computacional e simplificar o modelo, que não são as finalidades principais do pivotamento.
  • d) Diz que minimiza o erro de arredondamento, evita a divisão por zero e testa a singularidade do sistema. Isso está alinhado com o que entendemos sobre o método.
  • e) Fala em minimizar erro por truncamento e maximizar erro de arredondamento, o que é contraditório e incorreto.

Resposta

A alternativa d) Minimizar o erro de arredondamento, evitar a divisão por zero e testar a singularidade do sistema está correta.

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