Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, \operatorname{com} \varepsilon=10^{-3}, usando o Método de Newton.
x^{2}+e^{3 x}-3=0

Passo 1

O enunciado pede para achar pelo menos uma raiz real da equação
x^{2} + e^{3x} - 3 = 0
usando o Método de Newton com tolerância \varepsilon = 10^{-3}. Vamos aplicar iterações de Newton até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que 10^{-3}.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^{2} + e^{3x} - 3,
f'(x) = 2x + 3e^{3x}.
A fórmula de Newton é
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Escolhemos o palpite inicial x_{0}=0{,}5. Esse valor faz f(x_{0}) positivo, mas como f(0)=-1 e f(1)>0, sabemos que há raiz entre 0 e 1.

Passo 4

Primeira iteração ( n=0):
f(x_{0}) = (0{,}5)^{2} + e^{1{,}5} - 3 \approx 0{,}25 + 4{,}4817 - 3 = 1{,}7317,
f'(x_{0}) = 2\cdot0{,}5 + 3e^{1{,}5} \approx 1 + 3\cdot4{,}4817 = 14{,}4451,
x_{1} = 0{,}5 - \frac{1{,}7317}{14{,}4451} \approx 0{,}3801.

Passo 5

Segunda iteração ( n=1):
f(x_{1}) \approx (0{,}3801)^{2} + e^{1{,}1403} - 3 = 0{,}1445 + 3{,}1279 - 3 = 0{,}2724,
f'(x_{1}) \approx 2\cdot0{,}3801 + 3\cdot3{,}1279 = 0{,}7602 + 9{,}3837 = 10{,}1439,
x_{2} = 0{,}3801 - \frac{0{,}2724}{10{,}1439} \approx 0{,}3533.

Passo 6

Terceira iteração ( n=2):
f(x_{2}) \approx (0{,}3533)^{2} + e^{1{,}0599} - 3 = 0{,}1248 + 2{,}8855 - 3 = 0{,}0103,
f'(x_{2}) \approx 2\cdot0{,}3533 + 3\cdot2{,}8855 = 0{,}7066 + 8{,}6565 = 9{,}3631,
x_{3} = 0{,}3533 - \frac{0{,}0103}{9{,}3631} \approx 0{,}3522.

Passo 7

Quarta iteração ( n=3) e critério de parada:
f(x_{3}) \approx (0{,}3522)^{2} + e^{1{,}0566} - 3 = 0{,}1241 + 2{,}8774 - 3 = 0{,}0014,
f'(x_{3}) \approx 2\cdot0{,}3522 + 3\cdot2{,}8774 = 0{,}7044 + 8{,}6322 = 9{,}3366,
x_{4} = 0{,}3522 - \frac{0{,}0014}{9{,}3366} \approx 0{,}35205.
Como \lvert x_{4} - x_{3}\rvert \approx 0{,}00015 < 10^{-3}, paramos as iterações.

Resposta

Uma raiz real aproximada é
x \approx 0{,}352.

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