Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, \operatorname{com} \varepsilon=10^{-3}, usando o Método de Newton.
3 x^{4}-x=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular pelo menos uma raiz real da equação
3x^{4}-x=3
usando o Método de Newton com precisão \varepsilon=10^{-3}.
Conteúdo: métodos numéricos para raiz de função. Vamos reescrever em forma f(x)=0.

Passo 2

Definimos
f(x)=3x^{4}-x-3, \quad f'(x)=12x^{3}-1,
e a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Escolhemos aproximação inicial x_{0}=1 e calculamos as duas primeiras iterações:
Para n=0:
f(1)=3\cdot1^{4}-1-3=-1, \quad f'(1)=12\cdot1^{3}-1=11,
x_{1}=1-\frac{-1}{11}=1{,}0909091.
Para n=1:
f(1{,}0909091)\approx0{,}157985, \quad f'(1{,}0909091)\approx14{,}58025,
x_{2}=1{,}0909091-\frac{0{,}157985}{14{,}58025}\approx1{,}080076.

Passo 4

Fazendo a terceira iteração e verificando o critério \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-3}:
f(1{,}080076)\approx0{,}00273, \quad f'(1{,}080076)\approx14{,}1154,
x_{3}=1{,}080076-\frac{0{,}00273}{14{,}1154}\approx1{,}079883,
\lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx0{,}0001935<10^{-3}, portanto convergiu.

Resposta

Aproximação da raiz real:
x\approx1{,}0799.

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