1. Considere os números
a=1.234567 \quad \text { e } \quad b=1.234566
(a) Calcule a-b.
(b) Suponha que a e b sejam armazenados com apenas 5 dígitos significativos. Calcule novamente a-b.
(c) Compare os resultados e discuta o efeito do arredondamento.

Passo 1

O enunciado dá dois números e pede três coisas:
  • Dados: a=1,234567 e b=1,234566.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a-b exatamente com os valores fornecidos.
    (b) Supondo que a e b sejam armazenados com apenas 5 dígitos significativos (ou seja, arredondados para 5 algarismos significativos), calcular novamente a-b.
    (c) Comparar os resultados e discutir o efeito do arredondamento.

Passo 2

Vamos calcular a-b diretamente, alinhando as casas decimais e subtraindo termo a termo. Os números são muito parecidos, então enfatizo a escrita com as mesmas casas:
a=1,234567 \qquad b=1,234566
Subtraindo dígito a dígito:
a-b = 1,234567-1,234566 = 0,000001.
Escrevendo em notação científica:
a-b = 1\times 10^{-6}.
Explicação didática rápida: para subtrair números decimais, coloca-se as virgulas alinhadas (as mesmas potências de 10) e subtrai-se coluna a coluna. Aqui todos os dígitos à esquerda cancelam e resta apenas 0,000001.

Passo 3

Agora vamos entender o que significa “armazenados com apenas 5 dígitos significativos” e como arredondar para isso. Regra prática (arredondamento para o mais próximo):
  • Conta-se 5 algarismos significativos começando no primeiro algarismo não-nulo (no caso, o primeiro algarismo é o 1 antes da vírgula).
  • Olha-se o sexto algarismo significativo para decidir se o quinto é arredondado para cima (se o sexto \geq 5) ou permanece (se o sexto <5).
Aplicando a a:
a=1,234567.
Os cinco primeiros algarismos significativos são 1,2,3,4,5; o sexto é 6 (maior que 5), então o quinto (que é 5) é arredondado para 6. Portanto
a_{\text{(5 s.f.)}} = 1,2346.
Aplicando a b:
b=1,234566.
Os cinco primeiros algarismos significativos também são 1,2,3,4,5; o sexto é 6, então o quinto é arredondado para 6. Portanto
b_{\text{(5 s.f.)}} = 1,2346.
Observação didática: ambos os números, quando arredondados para 5 dígitos significativos, tornam-se exatamente iguais. Isso é comum quando números diferem apenas em casas muito à direita da precisão disponível.

Passo 4

Com os valores armazenados com 5 dígitos significativos, calculemos a diferença:
a_{\text{(5 s.f.)}}-b_{\text{(5 s.f.)}} = 1,2346-1,2346 = 0.
Portanto, o resultado computado com esses valores arredondados é exatamente zero.

Passo 5

Discussão detalhada do efeito do arredondamento (didática):
  • Resultado exato: a-b=1\times10^{-6}.
  • Resultado com armazenamento a 5 dígitos significativos: a-b=0.
  • Erro absoluto introduzido pela representação de 5 s.f. é |0 - 1\times10^{-6}| = 1\times10^{-6}.
  • Erro relativo com respeito ao valor verdadeiro da diferença é \frac{1\times10^{-6}}{1\times10^{-6}} = 1,ou seja, 100\% (o resultado foi totalmente perdido).
  • Conceito envolvido: cancelamento catastrófico. Quando se subtraem números muito próximos, as primeiras casas significativas se cancelam e o resultado depende de dígitos muito à direita. Se esses dígitos não são armazenados (por limitação de precisão), a diferença pode ser gravemente afetada — chegando aqui a virar zero. Em computação numérica isso é perigoso porque pequenas incertezas/erros nos operandos são amplificados na subtração.
  • Observação prática: tanto o arredondamento quanto o truncamento (chopping) até 5 s.f. fariam a e b iguais aqui, logo a diferença se anularia de qualquer modo. Para evitar esse tipo de problema, em algoritmos numéricos costuma-se reescrever expressões para evitar subtrações de quantidades quase iguais (por exemplo, racionalizar expressões algébricas) ou usar maior precisão.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido (para lembrar na prova):
  • Para subtrair diretamente, alinhe casas e subtraia; cuidado com cancelamento.
  • Arredondar para um número fixo de dígitos significativos pode tornar números distintos iguais se a diferença estiver além da precisão.
  • Sempre cheque se sua operação faz subtração entre números próximos; se sim, pense em reformular o cálculo ou usar mais precisão.

Resposta

(a) a-b = 1\times 10^{-6}
(b) a-b = 0
(c) O arredondamento para 5 dígitos significativos faz a e b tornarem-se iguais ( 1,2346), produzindo cancelamento catastrófico: a diferença verdadeira 1\times10^{-6} é perdida (erro absoluto 1\times10^{-6}, erro relativo 100\%).

Exercícios relacionados