- Considere os números
(a) Calcule
.
(b) Suponha que
e
sejam armazenados com apenas 5 dígitos significativos. Calcule novamente
.
(c) Compare os resultados e discuta o efeito do arredondamento.
(b) Suponha que
(c) Compare os resultados e discuta o efeito do arredondamento.
Passo 1
O enunciado dá dois números e pede três coisas:
- Dados:
e . - Perguntas:
(a) Calcularexatamente com os valores fornecidos.
(b) Supondo quee sejam armazenados com apenas 5 dígitos significativos (ou seja, arredondados para 5 algarismos significativos), calcular novamente .
(c) Comparar os resultados e discutir o efeito do arredondamento.
Passo 2
Vamos calcular
diretamente, alinhando as casas decimais e subtraindo termo a termo. Os números são muito parecidos, então enfatizo a escrita com as mesmas casas:
Subtraindo dígito a dígito:
Escrevendo em notação científica:
Explicação didática rápida: para subtrair números decimais, coloca-se as virgulas alinhadas (as mesmas potências de 10) e subtrai-se coluna a coluna. Aqui todos os dígitos à esquerda cancelam e resta apenas
.
Passo 3
Agora vamos entender o que significa “armazenados com apenas 5 dígitos significativos” e como arredondar para isso. Regra prática (arredondamento para o mais próximo):
- Conta-se 5 algarismos significativos começando no primeiro algarismo não-nulo (no caso, o primeiro algarismo é o
antes da vírgula). - Olha-se o sexto algarismo significativo para decidir se o quinto é arredondado para cima (se o sexto
) ou permanece (se o sexto ).
Aplicando a
:
Os cinco primeiros algarismos significativos são
; o sexto é
(maior que
), então o quinto (que é
) é arredondado para
. Portanto
Aplicando a
:
Os cinco primeiros algarismos significativos também são
; o sexto é
, então o quinto é arredondado para
. Portanto
Observação didática: ambos os números, quando arredondados para 5 dígitos significativos, tornam-se exatamente iguais. Isso é comum quando números diferem apenas em casas muito à direita da precisão disponível.
Passo 4
Com os valores armazenados com 5 dígitos significativos, calculemos a diferença:
Portanto, o resultado computado com esses valores arredondados é exatamente zero.
Passo 5
Discussão detalhada do efeito do arredondamento (didática):
- Resultado exato:
. - Resultado com armazenamento a 5 dígitos significativos:
. - Erro absoluto introduzido pela representação de 5 s.f. é
- Erro relativo com respeito ao valor verdadeiro da diferença é
ou seja, (o resultado foi totalmente perdido). - Conceito envolvido: cancelamento catastrófico. Quando se subtraem números muito próximos, as primeiras casas significativas se cancelam e o resultado depende de dígitos muito à direita. Se esses dígitos não são armazenados (por limitação de precisão), a diferença pode ser gravemente afetada — chegando aqui a virar zero. Em computação numérica isso é perigoso porque pequenas incertezas/erros nos operandos são amplificados na subtração.
- Observação prática: tanto o arredondamento quanto o truncamento (chopping) até 5 s.f. fariam
e iguais aqui, logo a diferença se anularia de qualquer modo. Para evitar esse tipo de problema, em algoritmos numéricos costuma-se reescrever expressões para evitar subtrações de quantidades quase iguais (por exemplo, racionalizar expressões algébricas) ou usar maior precisão.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido (para lembrar na prova):
- Para subtrair diretamente, alinhe casas e subtraia; cuidado com cancelamento.
- Arredondar para um número fixo de dígitos significativos pode tornar números distintos iguais se a diferença estiver além da precisão.
- Sempre cheque se sua operação faz subtração entre números próximos; se sim, pense em reformular o cálculo ou usar mais precisão.
Resposta
(a)
(b)
(c) O arredondamento para 5 dígitos significativos faz e
tornarem-se iguais (
), produzindo cancelamento catastrófico: a diferença verdadeira
é perdida (erro absoluto
, erro relativo
).
(b)
(c) O arredondamento para 5 dígitos significativos faz