1. Considere o sistemas lineares
\left\{\begin{array} { l } { x + y = 2 } \\\ { x + 1 . 0 1 y = 2 . 0 1 , } \end{array} \quad \text { e } \quad \left\{\begin{array}{l} x+y=2 \\\ x+1.01 y=2.02 \end{array}\right.\right.
(a) Verifique se ambos os sistemas possuem solução e caso possuam, verifique se são únicas. Observe que aqui estamos trabalhando os dois primeiros pontos que são existência e unicidade.
(b) Verifique a dependência contínua da solução em relação aos dados de entrada. O que deve ser feito na prática. Observe que os sistemas acima estão muito próximos (basta observar que a diferença entre eles é 2.01 e 2.02 na segunda equação dos sistemas). A pergunta aqui é: A solução de ambos os sistemas estão próximas também? Se as soluções estão próximas (na mesma escala do sistema), então o sistema depende continuamente da solução, do contrátio, não depente. Geralmente, este é o ponto mais sutil para ferificar se o problema é bem posto.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares muito próximos (peguei os coeficientes e termos constantes do enunciado):
  • Sistema 1:
\begin{cases} x + y = 2,\\[4pt] x + 1{,}01\,y = 2{,}01. \end{cases}
  • Sistema 2:
\begin{cases} x + y = 2,\\[4pt] x + 1{,}01\,y = 2{,}02. \end{cases}
O enunciado pede:
(a) Verificar se cada sistema possui solução e, em caso afirmativo, se a solução é única.
(b) Verificar a dependência contínua da solução em relação aos dados de entrada (ou seja: as soluções dos dois sistemas, que têm dados muito próximos, também são próximas? O que isso diz sobre bem-posicionamento e práticas em computação).]

Passo 2

Primeiro passo técnico: analisar existência e unicidade pelo determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é a mesma para os dois sistemas:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 1 & 1{,}01\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é \det(A)=ad-bc. Aqui:
\det(A)=1\cdot 1{,}01 - 1\cdot 1 = 1{,}01-1 = 0{,}01.
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível. Portanto, para qualquer vetor de termos constantes b, o sistema A x = b tem exatamente uma solução. Conclusão: ambos os sistemas têm solução única.]

Passo 3

Vamos resolver o Sistema 1 de forma direta (método do escalonamento simples / subtração, que é a forma mais rápida em prova). Do enunciado do Sistema 1:
\begin{cases} x + y = 2,\\[4pt] x + 1{,}01\,y = 2{,}01. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda (isso elimina x):
(x+1{,}01y)-(x+y)=2{,}01-2 \quad\Rightarrow\quad 0{,}01\,y=0{,}01.
Logo
y= \frac{0{,}01}{0{,}01}=1.
Substituindo em x+y=2:
x+1=2 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto, a solução do Sistema 1 é \,(x,y)=(1,1).]

Passo 4

Agora resolver o Sistema 2:
\begin{cases} x + y = 2,\\[4pt] x + 1{,}01\,y = 2{,}02. \end{cases}
Fazendo a mesma subtração (segunda menos primeira):
0{,}01\,y = 2{,}02-2 = 0{,}02.
Logo
y=\frac{0{,}02}{0{,}01}=2.
Substituindo em x+y=2:
x+2=2 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto, a solução do Sistema 2 é \,(x,y)=(0,2).]

Passo 5

Comparando as soluções:
\text{Solução do Sistema 1}=(1,1),\qquad \text{Solução do Sistema 2}=(0,2).çãçã
A diferença entre as soluções é
\Delta x = (0,2)-(1,1)=(-1,1).
Ou seja, uma pequena mudança no segundo termo constante (de 2{,}01 para 2{,}02, uma variação de apenas 0{,}01) gerou uma mudança nas incógnitas de ordem 1. Isso já sugere sensibilidade (não é óbvio que soluções fiquem pequenas quando dados mudam pouco).

Passo 6

Para entender e quantificar essa sensibilidade, calculamos explicitamente a inversa de A. Para uma matriz 2\times2,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=1, b=1, c=1, d=1{,}01 e \det(A)=0{,}01. Então
A^{-1}=\frac{1}{0{,}01}\begin{pmatrix}1{,}01 & -1\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix}=100\begin{pmatrix}1{,}01 & -1\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}101 & -100\\[2pt]-100 & 100\end{pmatrix}.]

Passo 7

A relação exata entre mudança nos termos constantes \Delta b e mudança na solução \Delta x é
\Delta x = A^{-1}\,\Delta b.
Aqui \Delta b = b^{(2)}-b^{(1)}=(0,\,0{,}01) (porque apenas o segundo componente mudou de 2{,}01 para 2{,}02). Calculando:
\Delta x = \begin{pmatrix}101 & -100\\[2pt]-100 & 100\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[2pt]0{,}01\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}101\cdot 0 + (-100)\cdot 0{,}01\\[2pt]-100\cdot 0 + 100\cdot 0{,}01\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix},
que confirma a diferença encontrada antes: \Delta x = (-1,1).]

Passo 8

Agora a parte conceitual (didática, do jeitinho que combina mais com prova): existe um teorema simples que diz que, se A é invertível, a solução x=A^{-1}b depende continuamente de b. Mais precisamente, para qualquer norma de vetores/matrizes,
\|\Delta x\| \le \|A^{-1}\|\,\|\Delta b\|.
Isto significa que pequenas variações em b produzem variações em x controladas por \|A^{-1}\|. Se \|A^{-1}\| for grande, pequenas variações em b podem provocar variações grandes em x. Portanto: existência/uniquidade garantem dependência contínua em sentido matemático, mas não garantem estabilidade numérica prática se \|A^{-1}\| (ou o número de condição) for grande.

Passo 9

Vamos quantificar esta ideia usando a norma infinito (norma de máximo soma de valores absolutos por linha), porque é simples de calcular à mão:
  • Normas: \|A\|_\infty = \max_{i}\sum_j |a_{ij}|.Para A: soma das linhas são 1+1=2 e 1+1{,}01=2{,}01. Assim \|A\|_\infty = 2{,}01.Para A^{-1}: somas das linhas são |101|+|{-100}|=201 e |{-100}|+|100|=200. Assim \|A^{-1}\|_\infty = 201.
  • Número de condição (na norma infinito) é \kappa_\infty(A)=\|A\|_\infty\|A^{-1}\|_\infty \approx 2{,}01\times 201 \approx 404{,}01.
Isto indica que a perturbação relativa na solução pode ser até cerca de 4{,}04\times 10^{2} vezes a perturbação relativa nos dados (ordem de centenas). É por isso que uma variação absoluta muito pequena em b ( 0{,}01) produziu uma variação de ordem 1 em x.

Passo 10

Interpretação prática e recomendações (o que fazer em prova/computação):
  • Matematicamente: o sistema é bem posto (existe e é única solução) e há dependência contínua de x em relação a b porque A é invertível.
  • Numericamente/praticamente: o sistema é mal condicionado (número de condição grande), logo pequenas perturbações nos dados (ou erros de arredondamento) podem causar grandes mudanças na solução. Isso é um problema em cálculos numéricos.
  • Em prática, para reduzir problemas:
    • verificar o número de condição \kappa(A) antes de confiar em soluções numéricas;
    • escalar as equações (normalizar linhas/colunas) para reduzir discrepâncias de magnitude;
    • usar pivotamento e métodos estáveis (eliminação gaussiana com pivotamento parcial/total);
    • usar aritmética com maior precisão se possível;
    • se o problema estiver intrinsecamente mal condicionado, considerar regularização ou reformular o problema.

Resposta

(a) Ambos os sistemas têm solução única, pois \det(A)=0{,}01\neq0. As soluções são: Sistema 1 \\ (x,y)=(1,1) e Sistema 2 \\ (x,y)=(0,2).
(b) Matematicamente a solução depende continuamente dos dados (porque A é invertível), mas o sistema é numericamente sensível (mal condicionado): uma pequena alteração em b de 0{,}01 produziu \Delta x=(-1,1). O número de condição aproximado é \kappa_\infty(A)\approx404{,}01, logo pequenas perturbações podem ser amplificadas em centenas de vezes; na prática recomenda-se checar \kappa(A), escalar as equações, usar pivotamento e, se necessário, maior precisão numérica.

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