- Considere o sistemas lineares
(a) Verifique se ambos os sistemas possuem solução e caso possuam, verifique se são únicas. Observe que aqui estamos trabalhando os dois primeiros pontos que são existência e unicidade.
(b) Verifique a dependência contínua da solução em relação aos dados de entrada. O que deve ser feito na prática. Observe que os sistemas acima estão muito próximos (basta observar que a diferença entre eles é 2.01 e 2.02 na segunda equação dos sistemas). A pergunta aqui é: A solução de ambos os sistemas estão próximas também? Se as soluções estão próximas (na mesma escala do sistema), então o sistema depende continuamente da solução, do contrátio, não depente. Geralmente, este é o ponto mais sutil para ferificar se o problema é bem posto.
(b) Verifique a dependência contínua da solução em relação aos dados de entrada. O que deve ser feito na prática. Observe que os sistemas acima estão muito próximos (basta observar que a diferença entre eles é 2.01 e 2.02 na segunda equação dos sistemas). A pergunta aqui é: A solução de ambos os sistemas estão próximas também? Se as soluções estão próximas (na mesma escala do sistema), então o sistema depende continuamente da solução, do contrátio, não depente. Geralmente, este é o ponto mais sutil para ferificar se o problema é bem posto.
Passo 1
O enunciado dá dois sistemas lineares muito próximos (peguei os coeficientes e termos constantes do enunciado):
- Sistema 1:
- Sistema 2:
O enunciado pede:
(a) Verificar se cada sistema possui solução e, em caso afirmativo, se a solução é única.
(b) Verificar a dependência contínua da solução em relação aos dados de entrada (ou seja: as soluções dos dois sistemas, que têm dados muito próximos, também são próximas? O que isso diz sobre bem-posicionamento e práticas em computação).]
(a) Verificar se cada sistema possui solução e, em caso afirmativo, se a solução é única.
(b) Verificar a dependência contínua da solução em relação aos dados de entrada (ou seja: as soluções dos dois sistemas, que têm dados muito próximos, também são próximas? O que isso diz sobre bem-posicionamento e práticas em computação).]
Passo 2
Primeiro passo técnico: analisar existência e unicidade pelo determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é a mesma para os dois sistemas:
O determinante de uma matriz
é
. Aqui:
Como
, a matriz
é invertível. Portanto, para qualquer vetor de termos constantes
, o sistema
tem exatamente uma solução. Conclusão: ambos os sistemas têm solução única.]
Passo 3
Vamos resolver o Sistema 1 de forma direta (método do escalonamento simples / subtração, que é a forma mais rápida em prova). Do enunciado do Sistema 1:
Subtraindo a primeira equação da segunda (isso elimina
):
Logo
Substituindo em
:
Portanto, a solução do Sistema 1 é
.]
Passo 4
Agora resolver o Sistema 2:
Fazendo a mesma subtração (segunda menos primeira):
Logo
Substituindo em
:
Portanto, a solução do Sistema 2 é
.]
Passo 5
Comparando as soluções:
A diferença entre as soluções é
Ou seja, uma pequena mudança no segundo termo constante (de
para
, uma variação de apenas
) gerou uma mudança nas incógnitas de ordem
. Isso já sugere sensibilidade (não é óbvio que soluções fiquem pequenas quando dados mudam pouco).
Passo 6
Para entender e quantificar essa sensibilidade, calculamos explicitamente a inversa de
. Para uma matriz
,
Aqui
,
,
,
e
. Então
Passo 7
A relação exata entre mudança nos termos constantes
e mudança na solução
é
Aqui
(porque apenas o segundo componente mudou de
para
). Calculando:
que confirma a diferença encontrada antes:
.]
Passo 8
Agora a parte conceitual (didática, do jeitinho que combina mais com prova): existe um teorema simples que diz que, se
é invertível, a solução
depende continuamente de
. Mais precisamente, para qualquer norma de vetores/matrizes,
Isto significa que pequenas variações em
produzem variações em
controladas por
. Se
for grande, pequenas variações em
podem provocar variações grandes em
. Portanto: existência/uniquidade garantem dependência contínua em sentido matemático, mas não garantem estabilidade numérica prática se
(ou o número de condição) for grande.
Passo 9
Vamos quantificar esta ideia usando a norma infinito (norma de máximo soma de valores absolutos por linha), porque é simples de calcular à mão:
- Normas:
Para : soma das linhas são e . Assim Para : somas das linhas são e . Assim - Número de condição (na norma infinito) é
Isto indica que a perturbação relativa na solução pode ser até cerca de
vezes a perturbação relativa nos dados (ordem de centenas). É por isso que uma variação absoluta muito pequena em
(
) produziu uma variação de ordem
em
.
Passo 10
Interpretação prática e recomendações (o que fazer em prova/computação):
- Matematicamente: o sistema é bem posto (existe e é única solução) e há dependência contínua de
em relação a porque é invertível. - Numericamente/praticamente: o sistema é mal condicionado (número de condição grande), logo pequenas perturbações nos dados (ou erros de arredondamento) podem causar grandes mudanças na solução. Isso é um problema em cálculos numéricos.
- Em prática, para reduzir problemas:
- verificar o número de condição
antes de confiar em soluções numéricas; - escalar as equações (normalizar linhas/colunas) para reduzir discrepâncias de magnitude;
- usar pivotamento e métodos estáveis (eliminação gaussiana com pivotamento parcial/total);
- usar aritmética com maior precisão se possível;
- se o problema estiver intrinsecamente mal condicionado, considerar regularização ou reformular o problema.
- verificar o número de condição
Resposta
(a) Ambos os sistemas têm solução única, pois
. As soluções são: Sistema 1
e Sistema 2
.
(b) Matematicamente a solução depende continuamente dos dados (porque é invertível), mas o sistema é numericamente sensível (mal condicionado): uma pequena alteração em
de
produziu
. O número de condição aproximado é
, logo pequenas perturbações podem ser amplificadas em centenas de vezes; na prática recomenda-se checar
, escalar as equações, usar pivotamento e, se necessário, maior precisão numérica.
(b) Matematicamente a solução depende continuamente dos dados (porque