Calcule numericamente I=\int_{0}^{\pi / 2} \sin (2 x) d x utilizando:
integração direta.
OBS: ao utilizar cada método solicitado, considere 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular numericamente
I=\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx
utilizando “integração direta”. Foi dada também a restrição: ao utilizar o método solicitado, devo considerar 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração [0,\pi/2]. Informações relevantes que tenho:
  • Intervalo de integração: [0,\pi/2].
  • Número de pontos igualmente espaçados: 3.
  • Função a integrar: f(x)=\sin(2x).
  • Não há outras informações ou figuras.

Passo 2

Decidindo o método a usar (explicação do porquê): o enunciado exige 3 pontos igualmente espaçados. Entre as regras de Newton–Cotes fechadas a que usam exatamente 3 pontos está a Regra de Simpson (a fórmula de Simpson com n=2 subintervalos). Por isso vou usar a Regra de Simpson simples, que é um método direto de integração numérica usando três pontos igualmente espaçados. Explico: a Regra de Simpson ajusta um polinômio quadrático que passa por três pontos da função e integra esse polinômio no intervalo; é uma escolha natural quando nos pedem 3 pontos.

Passo 3

Apresentando a fórmula de Simpson e o que cada símbolo significa:
  • Se tivermos intervalo [a,b] dividido em 2 subintervalos iguais (portanto 3 pontos), definimos
h=\frac{b-a}{2}.
  • Os pontos são x_0=a, x_1=a+h, x_2=a+2h=b.
  • A Regra de Simpson diz:
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Aqui f(x_0),f(x_1),f(x_2) são os valores da função nos três pontos. A fórmula vem de integrar exatamente o polinômio quadrático interpolador de f baseado nesses três pontos.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: a=0, b=\pi/2. Calculo h e os pontos:
h=\frac{b-a}{2}=\frac{\pi/2-0}{2}=\frac{\pi}{4}.
Os três pontos igualmente espaçados são
x_0=0,\qquad x_1=\frac{\pi}{4},\qquad x_2=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Avalio a função f(x)=\sin(2x) nesses pontos. Vou calcular passo a passo:
  • Em x_0=0:
f(x_0)=\sin(2\cdot 0)=\sin(0)=0.
  • Em x_1=\frac{\pi}{4}:
f(x_1)=\sin\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
  • Em x_2=\frac{\pi}{2}:
f(x_2)=\sin\!\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\sin(\pi)=0.

Passo 6

Agora aplico a fórmula de Simpson:
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Substituindo h=\frac{\pi}{4} e os valores de f:
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx \approx \frac{\pi/4}{3}\bigl(0 + 4\cdot 1 + 0\bigr) = \frac{\pi/4}{3}\cdot 4 = \frac{\pi}{3}.
Valor numérico aproximado:
\frac{\pi}{3}\approx 1{,}0471975512.

Passo 7

Para referência e para eu te tranquilizar, calculo também a integral exata (integração por antiderivada) para comparar:
  • Uma primitiva de \sin(2x) é -\tfrac{1}{2}\cos(2x), pois \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr)=\sin(2x).
  • Avaliando entre 0 e \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx = \left[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{\pi/2} = -\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr) = -\tfrac{1}{2}(-1-1)=1.
Comparação e erro:
\text{Estimativa de Simpson}=\frac{\pi}{3}\approx1{,}0471975512, \qquad \text{valor exato}=1.
Erro absoluto:
\left|\frac{\pi}{3}-1\right|\approx0{,}0471975512.
Erro relativo (aprox.):
\frac{\left|\frac{\pi}{3}-1\right|}{1}\approx0{,}0471975512\quad(\approx4{,}72\%).
Comentário rápido: usamos apenas 3 pontos e a regra de Simpson dá \pi/3, que é uma boa aproximação mas não exata aqui porque \sin(2x) não é um polinômio de grau ≤3.

Resposta

\dfrac{\pi}{3}\approx 1{,}0471975512

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