Calcule numericamente I=\int_{0}^{\pi / 2} \sin (2 x) d x utilizando:
integração direta.
OBS: ao utilizar cada método solicitado, considere 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular numericamente
I=\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx
utilizando “integração direta”. Foi dada também a restrição: ao utilizar o método solicitado, devo considerar 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração [0,\pi/2]. Informações relevantes que tenho:
Intervalo de integração: [0,\pi/2].
Número de pontos igualmente espaçados: 3.
Função a integrar: f(x)=\sin(2x).
Não há outras informações ou figuras.
Passo 2
Decidindo o método a usar (explicação do porquê): o enunciado exige 3 pontos igualmente espaçados. Entre as regras de Newton–Cotes fechadas a que usam exatamente 3 pontos está a Regra de Simpson (a fórmula de Simpson com n=2 subintervalos). Por isso vou usar a Regra de Simpson simples, que é um método direto de integração numérica usando três pontos igualmente espaçados. Explico: a Regra de Simpson ajusta um polinômio quadrático que passa por três pontos da função e integra esse polinômio no intervalo; é uma escolha natural quando nos pedem 3 pontos.
Passo 3
Apresentando a fórmula de Simpson e o que cada símbolo significa:
Se tivermos intervalo [a,b] dividido em 2 subintervalos iguais (portanto 3 pontos), definimos
Aqui f(x_0),f(x_1),f(x_2) são os valores da função nos três pontos. A fórmula vem de integrar exatamente o polinômio quadrático interpolador de f baseado nesses três pontos.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: a=0, b=\pi/2. Calculo h e os pontos:
Comentário rápido: usamos apenas 3 pontos e a regra de Simpson dá \pi/3, que é uma boa aproximação mas não exata aqui porque \sin(2x) não é um polinômio de grau ≤3.