Calcule numericamente I=\int_{0}^{\pi / 2} \sin (2 x) d x utilizando:
o método das parábolas.
OBS: ao utilizar cada método solicitado, considere 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular numericamente a integral \displaystyle I=\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx usando o método das parábolas. Foi especificado que, ao aplicar o método, devo considerar 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração.
Informações dadas e condições: \;- Função a integrar: \displaystyle f(x)=\sin(2x). \;- Intervalo de integração: \displaystyle [0,\tfrac{\pi}{2}]. \;- Número de pontos a usar: 3 pontos igualmente espaçados (ou seja, n=2 subintervalos).
Passo 2
O que é o “método das parábolas” (Regra de Simpson) e a fórmula que vamos usar:
A ideia do método das parábolas é aproximar a curva f(x) por uma parábola que passa por três pontos igualmente espaçados x_0,x_1,x_2 e integrar essa parábola exatamente no intervalo [x_0,x_2]. Para três pontos igualmente espaçados, com espaçamento \,h=\tfrac{x_2-x_0}{2}\,, a fórmula de Simpson (para um par de subintervalos) é
Aqui \,h é o meio-passo entre pontos consecutivos, ou seja \,h=(x_1-x_0)=(x_2-x_1), e f(x_0),f(x_1),f(x_2) são os valores da função nesses pontos. Vou aplicar exatamente essa fórmula com x_0=0, x_2=\tfrac{\pi}{2} e x_1 no meio.
Agora calculamos os valores da função \,f(x)=\sin(2x)\, nesses pontos, mostrando passo a passo os cálculos trigonométricos (sem precisar de calculadora porque são valores especiais):
Verificação com a integral exata (para sabermos o erro e interpretar o resultado):
A primitiva de \sin(2x) é -\tfrac{1}{2}\cos(2x), porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr)=\sin(2x). Assim a integral exata é
Ou seja, o valor exato é \,1. Comparando com a aproximação por Simpson \tfrac{\pi}{3}\approx 1,0472, o erro absoluto é
\left|\frac{\pi}{3}-1\right|\approx 0,047197551,
o que é um erro relativo de aproximadamente 4,72\%. Observação didática rápida: Simpson é exato para polinômios até grau 3; aqui integrando uma função trigonométrica obtemos uma pequena diferença, mas o método ainda fornece uma boa aproximação usando só 3 pontos.