Calcule numericamente I=\int_{0}^{\pi / 2} \sin (2 x) d x utilizando:
o método das parábolas.
OBS: ao utilizar cada método solicitado, considere 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular numericamente a integral \displaystyle I=\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx usando o método das parábolas. Foi especificado que, ao aplicar o método, devo considerar 3 (três) pontos igualmente espaçados no intervalo de integração.
Informações dadas e condições:
\;- Função a integrar: \displaystyle f(x)=\sin(2x).
\;- Intervalo de integração: \displaystyle [0,\tfrac{\pi}{2}].
\;- Número de pontos a usar: 3 pontos igualmente espaçados (ou seja, n=2 subintervalos).

Passo 2

O que é o “método das parábolas” (Regra de Simpson) e a fórmula que vamos usar:
A ideia do método das parábolas é aproximar a curva f(x) por uma parábola que passa por três pontos igualmente espaçados x_0,x_1,x_2 e integrar essa parábola exatamente no intervalo [x_0,x_2]. Para três pontos igualmente espaçados, com espaçamento \,h=\tfrac{x_2-x_0}{2}\,, a fórmula de Simpson (para um par de subintervalos) é
\displaystyle \int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Aqui \,h é o meio-passo entre pontos consecutivos, ou seja \,h=(x_1-x_0)=(x_2-x_1), e f(x_0),f(x_1),f(x_2) são os valores da função nesses pontos. Vou aplicar exatamente essa fórmula com x_0=0, x_2=\tfrac{\pi}{2} e x_1 no meio.

Passo 3

Calcular o espaçamento h e os pontos:
h=\frac{x_2-x_0}{2}=\frac{\tfrac{\pi}{2}-0}{2}=\frac{\pi}{4}.
Portanto os três pontos igualmente espaçados são
x_0=0,\qquad x_1=\frac{\pi}{4},\qquad x_2=\frac{\pi}{2}.
Agora calculamos os valores da função \,f(x)=\sin(2x)\, nesses pontos, mostrando passo a passo os cálculos trigonométricos (sem precisar de calculadora porque são valores especiais):
f(x_0)=f(0)=\sin(2\cdot 0)=\sin(0)=0,
f(x_1)=f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,
f(x_2)=f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin(\pi)=0.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Simpson com os valores encontrados:
A regra de Simpson dá
\displaystyle I\approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Substituindo h=\tfrac{\pi}{4} e os valores f(x_0)=0, f(x_1)=1, f(x_2)=0, obtemos
\displaystyle I\approx \frac{\pi/4}{3}\bigl(0+4\cdot 1+0\bigr)=\frac{\pi}{12}\cdot 4=\frac{\pi}{3}.
Em forma numérica (aproximação decimal),
\displaystyle \frac{\pi}{3}\approx 1,047197551\dots

Passo 5

Verificação com a integral exata (para sabermos o erro e interpretar o resultado):
A primitiva de \sin(2x) é -\tfrac{1}{2}\cos(2x), porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr)=\sin(2x). Assim a integral exata é
\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx=\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{\pi/2}=-\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr).
Como \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1, isso dá
\displaystyle -\tfrac{1}{2}(-1-1)=-\tfrac{1}{2}(-2)=1.
Ou seja, o valor exato é \,1. Comparando com a aproximação por Simpson \tfrac{\pi}{3}\approx 1,0472, o erro absoluto é
\left|\frac{\pi}{3}-1\right|\approx 0,047197551,
o que é um erro relativo de aproximadamente 4,72\%. Observação didática rápida: Simpson é exato para polinômios até grau 3; aqui integrando uma função trigonométrica obtemos uma pequena diferença, mas o método ainda fornece uma boa aproximação usando só 3 pontos.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}\approx 1,047197551

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