Considere a equação diferencial
, com condição inicial
. Resolva-a para
(cinco) iterações, utilizando
aplicando os métodos de
Runge-Kutta (coeficientes de Ralston).
Runge-Kutta (coeficientes de Ralston).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a aproximação numérica por 5 iterações usando passo
aplicando o método de Runge–Kutta com coeficientes de Ralston. Dados e pedidos listados claramente:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Intervalo de integração:
(começamos em ). - Passo:
. - Número de iterações:
(ou seja, calcular em ). - Método solicitado: Runge–Kutta de duas etapas com coeficientes de Ralston (RK2 de Ralston).
Passo 2
Vou explicar o método de Ralston (RK2) passo a passo, de modo que você entenda e consiga aplicar na prova.
Formulação do método (2 estágios — Ralston):
- Definimos a função do lado direito da ODE
. Aqui é a variável independente e é a aproximação atual da solução. - Para um passo de tamanho
partindo de , os coeficientes de Ralston são: - O que significa cada coisa:
-
é a inclinação inicial no ponto . - Avaliamos uma inclinação intermediária
no ponto deslocado em tempo usando uma aproximação explícita de naquele ponto. - A combinação
é a média ponderada das inclinações que Ralston escolheu para minimizar erro local; multiplicamos por e somamos a para obter .
-
Observação prática: para cada iteração você vai:
- Calcular
. - Calcular
e . - Calcular
. - Atualizar
. - Atualizar
.]
Passo 3
Valores iniciais e tempos onde queremos as aproximações:
-
, . -
. - Os tempos das próximas 5 iterações são:
Agora vamos aplicar o esquema de Ralston iterativamente, mostrando cada conta de forma bem detalhada.
Passo 4
-
- Ponto intermediário:
-
-
- Calculando numericamente:
, logo
- Calculando numericamente:
- Atualização:
Passo 5
- Valores iniciais desta iteração:
, . -
-
. Multiplicando por dá . - Assim
-
- Ponto intermediário:
-
-
-
. Multiplicando por obtém-se . - Logo
-
- Atualização:
Passo 6
- Início:
, . -
-
. Fazendo as multiplicações obtém-se
-
-
-
-
- Atualização:
Passo 7
- Início:
, . -
- Note que
exatamente. Assim
- Note que
-
-
-
- Atualização:
Passo 8
- Início:
, . -
-
. Calculando,
-
-
-
-
- Atualização: