Considere a equação diferencial y^{\prime}(t)=4 t-\frac{2}{t} y(t), com condição inicial y(1)=2. Resolva-a para t>1, \operatorname{com} 5 (cinco) iterações, utilizando \Delta_{t}=8 \times 10^{-3} aplicando os métodos de
Runge-Kutta (coeficientes de Ralston).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a aproximação numérica por 5 iterações usando passo \Delta_{t}=8\times10^{-3} aplicando o método de Runge–Kutta com coeficientes de Ralston. Dados e pedidos listados claramente:
  • Equação diferencial: \displaystyle y'(t)=4t-\frac{2}{t}\,y(t).
  • Condição inicial: \displaystyle y(1)=2.
  • Intervalo de integração: t>1 (começamos em t_0=1).
  • Passo: \displaystyle h=\Delta_{t}=8\times10^{-3}=0{,}008.
  • Número de iterações: 5 (ou seja, calcular y_1,y_2,y_3,y_4,y_5 em t_1,\dots,t_5).
  • Método solicitado: Runge–Kutta de duas etapas com coeficientes de Ralston (RK2 de Ralston).

Passo 2

Vou explicar o método de Ralston (RK2) passo a passo, de modo que você entenda e consiga aplicar na prova.
Formulação do método (2 estágios — Ralston):
  • Definimos a função do lado direito da ODE \displaystyle f(t,y)=4t-\frac{2}{t}\,y. Aqui t é a variável independente e y é a aproximação atual da solução.
  • Para um passo de tamanho h partindo de (t_n,y_n), os coeficientes de Ralston são: \begin{aligned} k_1 &= f(t_n,y_n),\\[4pt] k_2 &= f\!\bigl(t_n+\tfrac{3}{4}h,\;y_n+\tfrac{3}{4}h\,k_1\bigr),\\[4pt] y_{n+1} &= y_n + h\!\left(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2\right). \end{aligned}
  • O que significa cada coisa:
    • k_1 é a inclinação inicial no ponto (t_n,y_n).
    • Avaliamos uma inclinação intermediária k_2 no ponto deslocado em tempo \tfrac{3}{4}h usando uma aproximação explícita de y naquele ponto.
    • A combinação \tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2 é a média ponderada das inclinações que Ralston escolheu para minimizar erro local; multiplicamos por h e somamos a y_n para obter y_{n+1}.
Observação prática: para cada iteração você vai:
  1. Calcular k_1=4t_n-\dfrac{2}{t_n}y_n.
  2. Calcular t_{n,\text{mid}}=t_n+\tfrac{3}{4}h e y_{n,\text{mid}}=y_n+\tfrac{3}{4}h\,k_1.
  3. Calcular k_2=4t_{n,\text{mid}}-\dfrac{2}{t_{n,\text{mid}}}y_{n,\text{mid}}.
  4. Atualizar y_{n+1}=y_n+h\!\left(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2\right).
  5. Atualizar t_{n+1}=t_n+h.]

Passo 3

Valores iniciais e tempos onde queremos as aproximações:
  • t_0=1, y_0=2.
  • h=0{,}008.
  • Os tempos das próximas 5 iterações são: t_1=1{,}008,\quad t_2=1{,}016,\quad t_3=1{,}024,\quad t_4=1{,}032,\quad t_5=1{,}040.
Agora vamos aplicar o esquema de Ralston iterativamente, mostrando cada conta de forma bem detalhada.

Passo 4

  • k_1 = f(1,2) = 4\cdot1 - \dfrac{2}{1}\cdot 2 = 4 - 4 = 0.
  • Ponto intermediário: t_{0,\text{mid}} = 1 + \tfrac{3}{4}h = 1 + 0{,}006 = 1{,}006.
  • y_{0,\text{mid}} = 2 + \tfrac{3}{4}h\cdot k_1 = 2 + 0{,}006\cdot 0 = 2.
  • k_2 = f(1{,}006,2) = 4\cdot1{,}006 - \dfrac{2}{1{,}006}\cdot 2 = 4{,}024 - \dfrac{4}{1{,}006}.
    • Calculando numericamente: \dfrac{4}{1{,}006}\approx 3{,}97614314, logo k_2\approx 4{,}024-3{,}97614314=0{,}04785686.
  • Atualização: y_1 = 2 + 0{,}008\!\left(\tfrac{1}{3}\cdot 0 + \tfrac{2}{3}\cdot 0{,}04785686\right) = 2 + 0{,}008\cdot 0{,}031904573 \approx 2{,}000255237.

Passo 5

  • Valores iniciais desta iteração: t_1=1{,}008, y_1\approx 2{,}000255237.
  • k_1 = f(1{,}008,\,2{,}000255237) = 4\cdot1{,}008 - \dfrac{2}{1{,}008}\cdot 2{,}000255237.
    • \dfrac{2}{1{,}008}\approx 1{,}9841269841. Multiplicando por y_1 \approx 3{,}968760388.
    • Assim k_1\approx 4{,}032 - 3{,}968760388 = 0{,}063239612.
  • Ponto intermediário: t_{1,\text{mid}}=1{,}008+0{,}006=1{,}014.
  • y_{1,\text{mid}} = y_1 + 0{,}006\cdot k_1 \approx 2{,}000255237 + 0{,}006\cdot 0{,}063239612 \approx 2{,}000634674.
  • k_2 = f(1{,}014,\,2{,}000634674) = 4\cdot1{,}014 - \dfrac{2}{1{,}014}\cdot 2{,}000634674.
    • \dfrac{2}{1{,}014}\approx 1{,}972357. Multiplicando por y_{1,\text{mid}} obtém-se \approx 3{,}9459659.
    • Logo k_2\approx 4{,}056 - 3{,}9459659 = 0{,}1100341.
  • Atualização: y_2 = y_1 + 0{,}008\!\left(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2\right) \approx 2{,}000255237 + 0{,}008\cdot\bigl(0{,}02107987 + 0{,}07335607\bigr) \approx 2{,}001010724.

Passo 6

  • Início: t_2=1{,}016, y_2\approx 2{,}001010724.
  • k_1 = 4\cdot1{,}016 - \dfrac{2}{1{,}016}\cdot 2{,}001010724.
    • \dfrac{2}{1{,}016}\approx 1{,}9685039370. Fazendo as multiplicações obtém-se k_1\approx 0{,}125002126.
  • t_{2,\text{mid}}=1{,}016+0{,}006=1{,}022.
  • y_{2,\text{mid}} = y_2 + 0{,}006\cdot k_1 \approx 2{,}001010724 + 0{,}0007500128 \approx 2{,}001760737.
  • k_2 = 4\cdot1{,}022 - \dfrac{2}{1{,}022}\cdot 2{,}001760737 \approx 4{,}088 - 3{,}917244 \approx 0{,}170756.
  • Atualização: y_3 = y_2 + 0{,}008\!\left(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2\right) \approx 2{,}001010724 + 0{,}008\cdot 0{,}155504709 \approx 2{,}002254762.

Passo 7

  • Início: t_3=1{,}024, y_3\approx 2{,}002254762.
  • k_1 = 4\cdot1{,}024 - \dfrac{2}{1{,}024}\cdot 2{,}002254762.
    • Note que \dfrac{2}{1{,}024}=1{,}953125 exatamente. Assim k_1\approx 4{,}096 - 3{,}9106527 \approx 0{,}1853473.
  • t_{3,\text{mid}}=1{,}024+0{,}006=1{,}030.
  • y_{3,\text{mid}} = y_3 + 0{,}006\cdot k_1 \approx 2{,}002254762 + 0{,}001112084 \approx 2{,}003366846.
  • k_2 = 4\cdot1{,}030 - \dfrac{2}{1{,}030}\cdot 2{,}003366846 \approx 4{,}12 - 3{,}89003 \approx 0{,}22997.
  • Atualização: y_4 = y_3 + 0{,}008\!\left(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2\right) \approx 2{,}002254762 + 0{,}008\cdot 0{,}2150953 \approx 2{,}003975524.

Passo 8

  • Início: t_4=1{,}032, y_4\approx 2{,}003975524.
  • k_1 = 4\cdot1{,}032 - \dfrac{2}{1{,}032}\cdot 2{,}003975524.
    • \dfrac{2}{1{,}032}\approx 1{,}9379844961. Calculando, k_1\approx 4{,}128 - 3{,}883673 = 0{,}244327.
  • t_{4,\text{mid}}=1{,}032+0{,}006=1{,}038.
  • y_{4,\text{mid}} = y_4 + 0{,}006\cdot k_1 \approx 2{,}003975524 + 0{,}001465962 \approx 2{,}005441486.
  • k_2 = 4\cdot1{,}038 - \dfrac{2}{1{,}038}\cdot 2{,}005441486 \approx 4{,}152 - 3{,}860118 \approx 0{,}291882.
  • Atualização: y_5 = y_4 + 0{,}008\!\left(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2\right) \approx 2{,}003975524 + 0{,}008\cdot 0{,}2760303 \approx 2{,}006183766.

Resposta

y(1{,}008)\approx 2{,}000255237
y(1{,}016)\approx 2{,}001010724
y(1{,}024)\approx 2{,}002254762
y(1{,}032)\approx 2{,}003975524
y(1{,}040)\approx 2{,}006183766

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