4
)
(a) Aplique o método de Lagrange para interpolar a função
, em
, considerando 4 (quatro) pontos igualmente espaçados no intervalo dado.
(b) Utilize a função de interpolação obtida no item anterior para calcular uma aproximação para o número de Euler
.
(a) Aplique o método de Lagrange para interpolar a função
(b) Utilize a função de interpolação obtida no item anterior para calcular uma aproximação para o número de Euler
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumo claro do que se pede):
- (a) Aplicar o método de Lagrange para interpolar a função
no intervalo , usando 4 (quatro) pontos igualmente espaçados no intervalo dado. - (b) Usar a função de interpolação obtida no item (a) para calcular uma aproximação para o número de Euler
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: - Intervalo:
. - Número de pontos: 4 (logo o polinómio interpolador terá grau até 3).
- Os pontos são igualmente espaçados no intervalo; portanto haverá um passo
que define as abscissas.
Passo 2
O método de Lagrange (fórmula e explicação didática):
- A interpolação de Lagrange constrói um polinómio
de grau até 3 que passa exatamente pelos 4 pontos . - A fórmula geral é
onde cada polinômio base
é dado por
Aqui:
-
são as abscissas (nós) onde conhecemos . -
é o valor da função em : . - Intuição simples:
vale em e vale nos outros nós ( ), então .
Passo 3
Escolha dos nós (porque são igualmente espaçados) e valores de
:
- Como temos 4 pontos igualmente espaçados em
, o passo é
- Assim os nós são
- Os valores
são
(Anote: peguei estes valores diretamente dos nós definidos acima e da função
.)
Passo 4
Construção explícita dos polinômios base
(calculo dos denominadores com cuidado):
- Para
:
Calcule o denominador:
Logo
- Para
:
Denominador:
Logo
- Para
:
Denominador:
Logo
- Para
:
Denominador:
Logo
Passo 5
Expandir cada
em potência de
(para ficar com o polinómio interpolador numa forma “padrão”):
- Expandindo
: - Primeiro
. - Multiplicando por
obtém-se
- Primeiro
- Expandindo
: -
, multiplicando por e por ,
-
- Expandindo
: -
, multiplicando por e por ,
-
- Expandindo
: -
, multiplicando por e por ,
-
Passo 6
Formação do polinômio interpolador
e escrita explícita:
- Usando os
de antes ( ) e as expansões de , temos
- Agrupando os coeficientes por potências de
(calculei termo a termo): - Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
- Coeficiente de
- Portanto uma forma explícita (expandida) do polinômio interpolador é
com
dados acima em termos de potências de
.
- Observação prática e muito útil para provas: também podemos escrever
de forma compacta na forma de Lagrange
usando as formas factorizadas de
que achamos. Essa forma é totalmente válida como resposta de interpolação e geralmente mais direta de apresentar numa prova.
Passo 7
Cálculo da aproximação para
usando
(item (b)) — explicação conceitual e cálculo:
- Queremos aproximar
. Note que um dos nós usados na interpolação foi . Pelo próprio princípio da interpolação, o polinômio satisfaz . - Verificação rápida (propriedade dos
): e para , logo
- Conclusão: a aproximação fornecida por
é exatamente . Numericamente,
(esta é a representação decimal usual; a interpolação devolve simbolicamente
porque o nó
foi incluído).
Resposta
(a)
com
(forma expandida:
, com
,
,
.)
(b)