4 { }^{\text {a }} )
(a) Aplique o método de Lagrange para interpolar a função f(x)=\exp (x), em 0 \leq x \leq 1.5, considerando 4 (quatro) pontos igualmente espaçados no intervalo dado.
(b) Utilize a função de interpolação obtida no item anterior para calcular uma aproximação para o número de Euler e.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumo claro do que se pede):
  • (a) Aplicar o método de Lagrange para interpolar a função \,f(x)=\exp(x)\, no intervalo [0,1{,}5], usando 4 (quatro) pontos igualmente espaçados no intervalo dado.
  • (b) Usar a função de interpolação obtida no item (a) para calcular uma aproximação para o número de Euler e.
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Intervalo: [0,1{,}5].
  • Número de pontos: 4 (logo o polinómio interpolador terá grau até 3).
  • Os pontos são igualmente espaçados no intervalo; portanto haverá um passo h que define as abscissas.

Passo 2

O método de Lagrange (fórmula e explicação didática):
  • A interpolação de Lagrange constrói um polinómio p_3(x) de grau até 3 que passa exatamente pelos 4 pontos (x_k,y_k).
  • A fórmula geral é
p_3(x)=\sum_{k=0}^{3} y_k\,L_k(x),
onde cada polinômio base L_k(x) é dado por
L_k(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne k}}^{3}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}.
Aqui:
  • x_k são as abscissas (nós) onde conhecemos y_k=f(x_k).
  • y_k é o valor da função em x_k: y_k=f(x_k)=\exp(x_k).
  • Intuição simples: L_k(x) vale 1 em x=x_k e vale 0 nos outros nós x_j ( j\ne k), então p_3(x_k)=y_k.

Passo 3

Escolha dos nós (porque são igualmente espaçados) e valores de y_k:
  • Como temos 4 pontos igualmente espaçados em [0,1{,}5], o passo é
h=\frac{1{,}5-0}{3}=0{,}5.
  • Assim os nós são
x_0=0,\quad x_1=0{,}5,\quad x_2=1{,}0,\quad x_3=1{,}5.
  • Os valores y_k=f(x_k)=\exp(x_k) são
y_0=\exp(0)=1,\quad y_1=\exp\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\mathrm{e}^{1/2},\quad y_2=\exp(1)=\mathrm{e},\quad y_3=\exp\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\mathrm{e}^{3/2}.
(Anote: peguei estes valores diretamente dos nós definidos acima e da função \exp(x).)

Passo 4

Construção explícita dos polinômios base L_k(x) (calculo dos denominadores com cuidado):
  • Para k=0:
L_0(x)=\frac{(x-0{,}5)(x-1)(x-1{,}5)}{(0-0{,}5)(0-1)(0-1{,}5)}.
Calcule o denominador:
(0-0{,}5)(0-1)(0-1{,}5)=(-0{,}5)(-1)(-1{,}5)=-\tfrac{3}{4}.
Logo
L_0(x)=-\tfrac{4}{3}(x-0{,}5)(x-1)(x-1{,}5).
  • Para k=1:
L_1(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-1{,}5)}{(0{,}5-0)(0{,}5-1)(0{,}5-1{,}5)}.
Denominador:
(0{,}5)(-0{,}5)(-1)=\tfrac{1}{4}.
Logo
L_1(x)=4\,x(x-1)(x-1{,}5).
  • Para k=2:
L_2(x)=\frac{(x-0)(x-0{,}5)(x-1{,}5)}{(1-0)(1-0{,}5)(1-1{,}5)}.
Denominador:
(1)(0{,}5)(-0{,}5)=-\tfrac{1}{4}.
Logo
L_2(x)=-4\,x(x-0{,}5)(x-1{,}5).
  • Para k=3:
L_3(x)=\frac{(x-0)(x-0{,}5)(x-1)}{(1{,}5-0)(1{,}5-0{,}5)(1{,}5-1)}.
Denominador:
(1{,}5)(1)(0{,}5)=\tfrac{3}{4}.
Logo
L_3(x)=\tfrac{4}{3}\,x(x-0{,}5)(x-1).

Passo 5

Expandir cada L_k(x) em potência de x (para ficar com o polinómio interpolador numa forma “padrão”):
  • Expandindo L_0(x):
    • Primeiro (x-0{,}5)(x-1)(x-1{,}5)=x^3-3x^2+\tfrac{11}{4}x-\tfrac{3}{4}.
    • Multiplicando por -\tfrac{4}{3} obtém-se
    L_0(x)=-\tfrac{4}{3}x^3+4x^2-\tfrac{11}{3}x+1.
  • Expandindo L_1(x):
    • (x-1)(x-1{,}5)=x^2-2{,}5x+1{,}5, multiplicando por x e por 4,
    L_1(x)=4x^3-10x^2+6x.
  • Expandindo L_2(x):
    • (x-0{,}5)(x-1{,}5)=x^2-2x+0{,}75, multiplicando por x e por -4,
    L_2(x)=-4x^3+8x^2-3x.
  • Expandindo L_3(x):
    • (x-0{,}5)(x-1)=x^2-1{,}5x+0{,}5, multiplicando por x e por \tfrac{4}{3},
    L_3(x)=\tfrac{4}{3}x^3-2x^2+\tfrac{2}{3}x.

Passo 6

Formação do polinômio interpolador p_3(x)=\sum_{k=0}^3 y_k L_k(x) e escrita explícita:
  • Usando os y_k de antes ( 1,\mathrm{e}^{1/2},\mathrm{e},\mathrm{e}^{3/2}) e as expansões de L_k, temos
p_3(x)=1\cdot L_0(x)+\mathrm{e}^{1/2}\cdot L_1(x)+\mathrm{e}\cdot L_2(x)+\mathrm{e}^{3/2}\cdot L_3(x).
  • Agrupando os coeficientes por potências de x (calculei termo a termo):
    • Coeficiente de x^3:
    c_3=-\tfrac{4}{3}+4\mathrm{e}^{1/2}-4\mathrm{e}+\tfrac{4}{3}\mathrm{e}^{3/2}.
    • Coeficiente de x^2:
    c_2=4-10\mathrm{e}^{1/2}+8\mathrm{e}-2\mathrm{e}^{3/2}.
    • Coeficiente de x:
    c_1=-\tfrac{11}{3}+6\mathrm{e}^{1/2}-3\mathrm{e}+\tfrac{2}{3}\mathrm{e}^{3/2}.
    • Termo constante:
    c_0=1.
  • Portanto uma forma explícita (expandida) do polinômio interpolador é
\boxed{\,p_3(x)=c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + 1\,}
com c_3,c_2,c_1 dados acima em termos de potências de \mathrm{e}.
  • Observação prática e muito útil para provas: também podemos escrever p_3(x) de forma compacta na forma de Lagrange
\boxed{\,p_3(x)=L_0(x)+\mathrm{e}^{1/2}L_1(x)+\mathrm{e}\,L_2(x)+\mathrm{e}^{3/2}L_3(x)\,}
usando as formas factorizadas de L_k(x) que achamos. Essa forma é totalmente válida como resposta de interpolação e geralmente mais direta de apresentar numa prova.

Passo 7

Cálculo da aproximação para e usando p_3 (item (b)) — explicação conceitual e cálculo:
  • Queremos aproximar e=\exp(1). Note que um dos nós usados na interpolação foi x_2=1. Pelo próprio princípio da interpolação, o polinômio p_3 satisfaz p_3(x_2)=p_3(1)=f(1)=\exp(1)=\mathrm{e}.
  • Verificação rápida (propriedade dos L_k): L_2(1)=1 e L_j(1)=0 para j\ne2, logo
p_3(1)=1\cdot L_0(1)+\mathrm{e}^{1/2}L_1(1)+\mathrm{e}L_2(1)+\mathrm{e}^{3/2}L_3(1)=\mathrm{e}.
  • Conclusão: a aproximação fornecida por p_3(1) é exatamente \mathrm{e}. Numericamente,
\mathrm{e}\approx 2{,}718281828459045\ldots
(esta é a representação decimal usual; a interpolação devolve simbolicamente \mathrm{e} porque o nó x=1 foi incluído).

Resposta

(a) p_3(x)=L_0(x)+\mathrm{e}^{1/2}L_1(x)+\mathrm{e}\,L_2(x)+\mathrm{e}^{3/2}L_3(x),
com
L_0(x)=-\tfrac{4}{3}(x-0{,}5)(x-1)(x-1{,}5),\quad L_1(x)=4x(x-1)(x-1{,}5),
L_2(x)=-4x(x-0{,}5)(x-1{,}5),\quad L_3(x)=\tfrac{4}{3}x(x-0{,}5)(x-1).
(forma expandida: \displaystyle p_3(x)=c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + 1, com
\displaystyle c_3=-\tfrac{4}{3}+4\mathrm{e}^{1/2}-4\mathrm{e}+\tfrac{4}{3}\mathrm{e}^{3/2},
\displaystyle c_2=4-10\mathrm{e}^{1/2}+8\mathrm{e}-2\mathrm{e}^{3/2},
\displaystyle c_1=-\tfrac{11}{3}+6\mathrm{e}^{1/2}-3\mathrm{e}+\tfrac{2}{3}\mathrm{e}^{3/2}.)
(b) p_3(1)=\mathrm{e}\approx 2{,}718281828459045\ldots

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