Calcule:
\operatorname{senh}(2+i)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \senh(2+i), onde \senh é a função seno hiperbólico. Vamos usar a definição
\senh z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}
para z = 2 + i.

Passo 2

Aplicando a definição, temos
\senh(2+i) = \frac{e^{2+i} - e^{-(2+i)}}{2} = \frac{e^{2}e^{i} - e^{-2}e^{-i}}{2}.

Passo 3

Como e^{i} = \cos 1 + i\sin 1 e e^{-i} = \cos 1 - i\sin 1, substituímos:
\senh(2+i) = \frac{e^{2}(\cos 1 + i\sin 1)\;-\;e^{-2}(\cos 1 - i\sin 1)}{2}.

Passo 4

Agrupando parte real e parte imaginária:
\senh(2+i) = \frac{(e^{2}-e^{-2})\cos 1}{2} \;+\; i\,\frac{(e^{2}+e^{-2})\sin 1}{2}.
Reconhecemos as definições
\operatorname{sinh} 2 = \tfrac{e^{2}-e^{-2}}{2} e \operatorname{cosh} 2 = \tfrac{e^{2}+e^{-2}}{2}, portanto
\senh(2+i) = \operatorname{sinh} 2\,\cos 1 \;+\; i\,\operatorname{cosh} 2\,\sin 1.

Resposta

\senh(2+i) = \operatorname{sinh} 2\cos 1 \;+\; i\,\operatorname{cosh} 2\sin 1.

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