Determine o valor de e^{z} quando z vale:
\frac{3 \pi i}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle e^{z} quando z = \tfrac{3\pi i}{4}. O conteúdo necessário é a fórmula de Euler para exponencial de número imaginário.

Passo 2

A fórmula de Euler diz
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

Passo 3

Aqui temos \theta = \tfrac{3\pi}{4}, logo
e^{\frac{3\pi i}{4}} = \cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) \;+\; i\,\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)

Passo 4

Sabemos que
\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 5

Substituindo esses valores obtemos
e^{\frac{3\pi i}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \;+\; i\,\frac{\sqrt{2}}{2}

Resposta

e^{\frac{3\pi i}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2}}{2}

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