Determine o valor de e^{z} quando z vale:
\frac{\pi i}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \exp(z) no caso em que
z = \frac{\pi i}{3}.
O conteúdo aqui é a definição da função exponencial complexa e, em particular, a aplicação da Fórmula de Euler.

Passo 2

A Fórmula de Euler diz que, para todo \theta\in\mathbb{R},
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\,\sin(\theta).
No nosso caso, \theta = \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Substituindo \theta = \tfrac{\pi}{3} na fórmula de Euler, obtemos
e^{\,i\frac{\pi}{3}} = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr).
Sabemos que \cos(\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{1}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo,
e^{\,i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

e^{\,\frac{\pi i}{3}} = \frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.

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