Calcule a ordem de convergência para o Método da Iteração Linear e o Método de Newton.

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente descobrir a “ordem de convergência” de dois métodos numéricos:
  • Método de Iteração Linear (também chamado de ponto-fixo)
  • Método de Newton
Conteúdo e o que vamos usar:
  • Definição de ordem de convergência (padrão: errorₙ₊₁ ≈ C·errorₙᵖ)
  • Expansão em série de Taylor para estimar o erro
  • No método de ponto-fixo, olhar g′®
  • No método de Newton, expandir f em torno da raiz r

Passo 2

Primeiro, lembra o que é ordem de convergência. Se a sequência de aproximações xₙ converge para a raiz r, definimos o erro eₙ = |xₙ – r|. Dizemos que o método tem ordem p se, para n grande:
en+1 approx C;en^p,
onde C>0 é constante. O valor de p diz quão rápido o erro cai.

Passo 3

Método de Iteração Linear (xₙ₊₁ = g(xₙ))
  1. Seja r tal que r = g®. Faça Taylor de g em torno de r:
g(xn) = g(r) + g'(r),(xn - r) + Ol((xn - r)^2r)
  1. Como g®=r, temos
xn+1 - r = g'(r),(xn - r) + O(en^2)
  1. Em módulo:
en+1 = |xn+1-r| approx |g'(r)|;en
Isso é do tipo p=1 (porque eₙ aparece elevado a 1). Logo, a ordem de convergência é 1 (linear), desde que |g′®|<1.

Passo 4

Método de Newton (xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f’(xₙ))
  1. Expande f em torno de r (f®=0) até segundo ordem:
f(xn) = f'(r),en + tfrac12,f''(r),en^2 + O(en^3)
  1. Então
f(xn)f'(xn) approx f'(r),en + tfrac12,f''(r),en^2,f'(r) + O(en), approx en + f''(r)2f'(r),en^2
  1. Substituindo em xₙ₊₁ = xₙ – (…) e lembrando xₙ = r + eₙ, obtemos
en+1 = |xn+1-r| approx l|f''(r)2f'(r)r|;en^2
Isso mostra que p=2 (quadrática).

Resposta

Método de Iteração Linear: ordem de convergência p = 1 (linear)
Método de Newton: ordem de convergência p = 2 (quadrática)

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