Calcule a ordem de convergência para o Método da Iteração Linear e o Método de Newton.
Passo 1
Beleza! A questão pede para a gente descobrir a “ordem de convergência” de dois métodos numéricos:
- Método de Iteração Linear (também chamado de ponto-fixo)
- Método de Newton
Conteúdo e o que vamos usar:
- Definição de ordem de convergência (padrão: errorₙ₊₁ ≈ C·errorₙᵖ)
- Expansão em série de Taylor para estimar o erro
- No método de ponto-fixo, olhar g′®
- No método de Newton, expandir f em torno da raiz r
Passo 2
Primeiro, lembra o que é ordem de convergência. Se a sequência de aproximações xₙ converge para a raiz r, definimos o erro eₙ = |xₙ – r|. Dizemos que o método tem ordem p se, para n grande:
onde C>0 é constante. O valor de p diz quão rápido o erro cai.
Passo 3
Método de Iteração Linear (xₙ₊₁ = g(xₙ))
- Seja r tal que r = g®. Faça Taylor de g em torno de r:
- Como g®=r, temos
- Em módulo:
Isso é do tipo p=1 (porque eₙ aparece elevado a 1). Logo, a ordem de convergência é 1 (linear), desde que |g′®|<1.
Passo 4
Método de Newton (xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f’(xₙ))
- Expande f em torno de r (f®=0) até segundo ordem:
- Então
- Substituindo em xₙ₊₁ = xₙ – (…) e lembrando xₙ = r + eₙ, obtemos
Isso mostra que p=2 (quadrática).
Resposta
Método de Iteração Linear: ordem de convergência p = 1 (linear)
Método de Newton: ordem de convergência p = 2 (quadrática)
Método de Newton: ordem de convergência p = 2 (quadrática)