Utilize o método da bissecção para encontrar soluções com precisão de 10^-2 para x^3-7 x^2+14 x-6=0 nos seguintes intervalos:
(a) [0,1];

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente usar o método da bissecção pra achar, com precisão de f(x)=x^3-7x^2+14x-6=0 , uma raiz da equação
no intervalo .
Conteúdo: método da bissecção (procura raiz em função contínua achando mudança de sinal).
O que precisamos:
  • saber que, se , existe pelo menos uma raiz em ;
  • calcular nos pontos médios sucessivos até que o tamanho do intervalo seja menor que .

Passo 2

Primeiro avaliamos os extremos:
f(0)=0^3-7cdot0^2+14cdot0-6=-6,
f(1)=1-7+14-6=2
Como , tem raiz em .

Passo 3

Iteração 1:
  • Ponto médio .
  • (negativo).
    Então a mudança de sinal está em .

Passo 4

Iteração 2:
  • .
  • (positivo).
    Raiz agora em .

Passo 5

Iteração 3:
  • .
  • (positivo).
    Raiz em .

Passo 6

Iteração 4:
  • .
  • (negativo).
    Raiz em .

Passo 7

Iteração 5:
  • .
  • (positivo).
    Raiz em .

Passo 8

Iteração 6:
  • .
  • (negativo).
    Raiz em .

Passo 9

Iteração 7:
  • 0.5859375 - 0.578125 = 0.0078125 < 0.01 .
  • (positivo).
    Agora o intervalo é cujo comprimento é
Como queremos precisão de , paramos aqui.

Passo 10

Aproximação da raiz é o ponto médio final:
xapprox 0.578125 + 0.58593752 = 0.58203125
Arredondando com precisão de duas casas decimais, fica .

Resposta

A raiz em com precisão é aproximadamente .

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