Dado a in R, com 0, seja xn=1+a+a^2+cdots+a^n, forall n in N. Responda os seguintes itens:
© Calcule lim n infty xn.

Passo 1

Beleza, o exercício fala o seguinte: temos um número real xn = 1 + a + a^2 + cdots + a^n entre 0 e 1 (ou seja, ) e definimos a sequência
A parte © pede .
Conteúdo: série geométrica e limites de sequências.
O que vamos precisar:
  • A fórmula da soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica.
  • Saber como calcular limite de quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica finita. Se você soma
1 + a + a^2 + cdots + a^n,
com razão (1 + a + a^2 + cdots + a^n),(1 - a) = 1 - a^n+1 , existe um truque de multiplicar por xn = 1 + a + cdots + a^n = 1 - a^n+11 - a :
Daí isolamos a soma:
Isso é geometria básica de séries: multiplica, cancela quase tudo e sobra no topo e em baixo.

Passo 3

Agora basta ver o que acontece com limntoinfty a^n+1 = 0 quando limntoinfty xn = limntoinfty 1 - a^n+11-a = 1 - 01 - a = 11 - a . Como , uma potência cada vez maior de vai a zero:
Então, tomando limite na expressão de :

Resposta

boxedlimntoinfty xn = 11 - a

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