Dado
, com
, seja
. Responda os seguintes itens:
© Calcule
.
© Calcule
Passo 1
Beleza, o exercício fala o seguinte: temos um número real
entre 0 e 1 (ou seja,
) e definimos a sequência
A parte © pede
.
Conteúdo: série geométrica e limites de sequências.
O que vamos precisar:
Conteúdo: série geométrica e limites de sequências.
O que vamos precisar:
- A fórmula da soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica. - Saber como calcular limite de
quando .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica finita. Se você soma
com razão
, existe um truque de multiplicar por
:
Daí isolamos a soma:
Isso é geometria básica de séries: multiplica, cancela quase tudo e sobra
no topo e
em baixo.
Passo 3
Agora basta ver o que acontece com
quando
. Como
, uma potência cada vez maior de
vai a zero:
Então, tomando limite na expressão de
: