Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2 e partial^2 fpartial x partial y dos seguintes funções:
g=arctg(yx)

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Calcule
e para
.”
Conteúdo: derivadas parciais de segunda ordem. Vamos usar regra da cadeia, regra do quociente e diferenciação de potências.

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas parciais de primeira ordem.
  1. Definimos gx = 11+(y/x)^2;partialpartial xl(tfrac yxr) = 11+tfracy^2x^2;l(-tfrac yx^2r) = -y/x^2tfracx^2+y^2x^2 = -yx^2+y^2 .
  2. Sabemos que gy = 11+(y/x)^2;partialpartial yl(tfrac yxr) = 11+tfracy^2x^2;l(tfrac1xr) = 1/xtfracx^2+y^2x^2 = xx^2+y^2 .
    Logo, por cadeia:
De modo parecido,

Passo 3

Agora gx = -y,(x^2+y^2)^-1, . Como
gxx = -y;l[-2x,(x^2+y^2)^-2r] = 2xy(x^2+y^2)^2
tratando como constante e usando , vem

Passo 4

Para gy = x,(x^2+y^2)^-1 , temos
gyy = x;l[-2y,(x^2+y^2)^-2r] = -2xy(x^2+y^2)^2
Derivando em :

Passo 5

Finalmente, a mista gx = -y,(x^2+y^2)^-1, . Lembrando
gxy = -1cdot(x^2+y^2)^-1 + (-y)cdotl[-2y,(x^2+y^2)^-2r] = -1x^2+y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -,(x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2
aplicamos produto e cadeia em :

Resposta

boxed partial^2 gpartial x^2 = 2xy(x^2+y^2)^2, partial^2 gpartial y^2 = -2xy(x^2+y^2)^2, partial^2 gpartial xpartial y = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2

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