Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2 e partial^2 fpartial x partial y dos seguintes funções:
f=ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Conteúdo: derivadas parciais, regra da cadeia e regra do quociente.
O que vamos precisar:
  • Derivar em relação a e a (primeiras parciais).
  • Usar regra do quociente pra derivar de novo (segunda ordem).
  • Mostrar também a derivada mista .

Passo 2

Primeiro a gente faz fx = 1x^2+y^2cdot partialpartial x(x^2+y^2) = 1x^2+y^2cdot 2x = 2xx^2+y^2 .
Sabendo que e , pela regra da cadeia:

Passo 3

Agora vamos achar fxx = v',u - v,u'u^2 = 2(x^2+y^2) - 2xcdot 2x(x^2+y^2)^2 = 2x^2+2y^2 - 4x^2(x^2+y^2)^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2 .
Temos . Aplicando regra do quociente, com
, , , :

Passo 4

De modo análogo, primeiro
fy = partialpartial yln(x^2+y^2) = 1x^2+y^2cdot 2y = 2yx^2+y^2
Depois, pra fyy = 2(x^2+y^2) - 2ycdot 2y(x^2+y^2)^2 = 2x^2+2y^2 - 4y^2(x^2+y^2)^2 = 2(x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2 , usamos regra do quociente com
, , , :

Passo 5

Agora a derivada mista fxy = 2x cdot ddyl[(x^2+y^2)^-1r] = 2x cdot l(-1r)(x^2+y^2)^-2cdot 2y = -4xy(x^2+y^2)^2 .
Como , é constante em relação a .
Usando regra da cadeia em :

Resposta



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