Mostre que
se
, então
, onde campo vetorial
e vetores
e
são vetores constantes.
se
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma curva vetorial
em
cuja aceleração é dada por
onde
isto é, esse produto vetorial é um vetor constante
.
Conteúdo envolvido: cálculo vetorial (regra da derivada do produto vetorial) e propriedade de auto‐produto vetorial .
Conteúdo envolvido: cálculo vetorial (regra da derivada do produto vetorial) e propriedade de auto‐produto vetorial
Passo 2
Aplicar a regra de derivação do produto vetorial: para quaisquer vetores
e
vale
$$\frac{d}{dt}\bigl(\vec A\times\vec B\bigr)
=\frac{d\vec A}{dt}\times\vec B+\vec A\times\frac{d\vec B}{dt},.
\frac{d}{dt}\Bigl(\vec r\times\vec r’\Bigr)
=\vec r’\times\vec r’ ;+;\vec r\times\vec r’’,. $$
Passo 3
Repare que todo vetor cruz ele mesmo é zero:
. Além disso, pela hipótese
, então
$$\vec r\times\vec r’’=\vec r\times\bigl(f®,\vec r\bigr)
=f®,\bigl(\vec r\times\vec r\bigr)=f®,0=0,.
\frac{d}{dt}\Bigl(\vec r\times\vec r’\Bigr)=0+0=0,. $$
Passo 4
Se a derivada de uma função vetorial é zero, essa função é constante. Portanto
onde