Mostre que
se d^2 rd t^2=f(r) r, então r times d rd t=w, onde campo vetorial v: R^1 R^3 e vetores u e w são vetores constantes.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma curva vetorial vec r(t) em R^3 cuja aceleração é dada por
d^2vec rdt^2=fl(r(t)r),vec r(t),,
onde r(t)=|vec r(t)| e f é uma função escalar de uma variável. O que queremos mostrar é que
vec r(t)timesdvec rdt(t)=vec w,,
isto é, esse produto vetorial é um vetor constante vec w.
Conteúdo envolvido: cálculo vetorial (regra da derivada do produto vetorial) e propriedade de auto‐produto vetorial vec atimesvec a=0.

Passo 2

Aplicar a regra de derivação do produto vetorial: para quaisquer vetores vec A(t) e vec B(t) vale
$$\frac{d}{dt}\bigl(\vec A\times\vec B\bigr)
=\frac{d\vec A}{dt}\times\vec B+\vec A\times\frac{d\vec B}{dt},. ddtl(vec Atimesvec Br) =dvec Adttimesvec B+vec Atimesdvec Bdt, \frac{d}{dt}\Bigl(\vec r\times\vec r’\Bigr)
=\vec r’\times\vec r’ ;+;\vec r\times\vec r’’,. $$

Passo 3

Repare que todo vetor cruz ele mesmo é zero: vec r'timesvec r'=0. Além disso, pela hipótese vec r''=f(r),vec r, então
$$\vec r\times\vec r’’=\vec r\times\bigl(f®,\vec r\bigr)
=f®,\bigl(\vec r\times\vec r\bigr)=f®,0=0,. vec rtimesvec r''=vec rtimesl(f(r),vec rr) =f(r),l(vec rtimesvec rr)=f(r),0=0, \frac{d}{dt}\Bigl(\vec r\times\vec r’\Bigr)=0+0=0,. $$

Passo 4

Se a derivada de uma função vetorial é zero, essa função é constante. Portanto
vec r(t)timesvec r'(t)=vec w ,,
onde vec w é um vetor constante (determinado pelas condições iniciais).

Resposta

boxedvec r(t)timesdvec rdt(t)=vec w (constante)

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