Sendo mathscrB=(e1, e2, e3), mathscrB^prime=(e1^prime, e2^prime, e3^prime) bases, com
l e1^prime=e2+e3-3 e1 e2^prime=e1-2 e2+e3 e3^prime=e1+2 e2 ,
e vetor u=e1+e2+e3=(1,1,1)mathscrB.
Ache coordenardes u em base mathscrB^prime

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos. O exercício tá na parte de Álgebra Linear, mais precisamente em mudança de base.
– Conteúdo: Mudança de base e inversão de matrizes.
– O que a gente precisa:
  1. Montar a matriz de passagem de para , usando as coordenadas de na base .
  2. Resolver para as coordenadas de em , que satisfazem .
  3. Para isso, vamos precisar inverter ou usar um método de sistemas lineares.
A partir do próximo passo, partimos para a resolução na prática.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas das novas bases em relação à base vec e1' = -3vec e1 + 1vec e2 + 1vec e3, vec e2' = 1vec e1 - 2vec e2 + 1vec e3, vec e3' = 1vec e1 + 2vec e2 + 0vec e3 :
P = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0
Isso significa que a matriz de passagem (colunas = coord. de em ) é

Passo 3

A relação entre coordenadas é
P ;[vec u]mathscr B' ;=; [vec u]mathscr B
Sabemos que [vec u]mathscr B' = P^-1,(1,1,1)^top . Para achar , basta inverter :

Passo 4

Para inverter det P = 11 (confere fazendo a regra de Sarrus ou cofactores) , calculamos primeiro adj(P) = -2 & 1 & 4 2 & -1& 7 3 & 4 & 5 , . Dá
P^-1 = 111 -2 & 1 & 4 2 & -1& 7 3 & 4 & 5
A matriz dos cofatores transposta (adjunta) vem
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Passo 5

Agora multiplicamos [vec u]mathscr B' = 111 -2 & 1 & 4 2 & -1& 7 3 & 4 & 5 !111 = 111 -2 + 1 + 4 2 - 1 + 7 3 + 4 + 5 = 111 3812 pelo vetor :

Resposta

As coordenadas de boxed[vec u]mathscr B' = l(tfrac311,,tfrac811,,tfrac1211r) na base são

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