Calcule f^prime(x):=lim h 0 f(x+h)-f(x)h sendo f dada por. Note que f^prime(x) é por definição a derivada em um ponto qualquer no domínio de f .
f(x)=-x^3+2 x

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente calcular a derivada

sendo

Isso faz parte de Cálculo Diferencial: usar a definição de derivada como limite do quociente incremental.
O que vamos precisar:
  1. Expandir usando o polinômio .
  2. Montar o quociente .
  3. Simplificar, fatorar e aplicar o limite .

Passo 2

Primeiro, vamos achar f(x+h) = -(x+h)^3 + 2(x+h) .
Temos
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
Para expandir f(x+h) = -l(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3r) + 2x + 2h = -x^3 -3x^2h -3xh^2 -h^3 +2x +2h , usamos a fórmula do binômio:
Então

Passo 3

Agora montamos o quociente
f(x+h)-f(x)h =l(-x^3 -3x^2h -3xh^2 -h^3 +2x +2hr)-l(-x^3+2xr)h
Ao subtrair -3x^2h -3xh^2 -h^3 +2hh , os termos e se cancelam, sobrando

Passo 4

Colocamos hl(-3x^2 -3xh -h^2 +2r)h =-3x^2 -3xh -h^2 +2 em evidência no numerador:
limhto0l(-3x^2 -3xh -h^2 +2r) =-3x^2 +2
Agora é só aplicar o limite . Como e vão a zero, fica

Resposta

boxedf'(x)=-3x^2+2

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