Calcule a raiz das funções abaixo. Use sempre 4 casas decimais.
f(x)=cos (x^2), para x0=pi / 3 e |f(x)|<0,02.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra encontrar uma raiz de
f(x) = cos(x^2)
começando em xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e parando quando .
Conteúdo: vamos usar o método de Newton–Raphson, que é um jeito de aproximar raízes de funções.
O que precisamos:
  1. a fórmula do Newton:
  1. a derivada .

Passo 2

Primeiro, calcula a derivada de f(x) = cos(x^2) Longrightarrow f'(x) = -sin(x^2)cdot 2x = -2x,sin(x^2) .
f(x0) = cosl((1,0472)^2r) = cos(1,0966)approx0,4568,
Agora, em f'(x0) = -2cdot1,0472cdotsin(1,0966)approx -1,8610 :
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) =1,0472 - 0,4568-1,8610 approx1,2926
Aplicando Newton:

Passo 3

Agora em f(x1) = cosl((1,2926)^2r) = cos(1,6718)approx -0,1024, :
f'(x1)= -2cdot1,2926cdotsin(1,6718)approx -2,5728
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) =1,2926 - -0,1024-2,5728 approx1,2528
Newton de novo:

Passo 4

Teste a condição f(x2)=cosl((1,2528)^2r)=cos(1,5695)approx0,0003, :
e . Beleza, já atingimos a tolerância pedida!

Resposta

A raiz aproximada é
x approx 1,2528

Exercícios relacionados