Considere a função
f(x)=ln (16-x^2)
Encontre o termo geral da série de Taylor de f usando propriedades de logaritmo e as séries vistas em sala.

Passo 1

Beleza, temos a função
f(x)=lnl(16 - x^2r)
O que a gente quer é o termo geral da série de Taylor (em torno de zero) dessa função.
Conteúdo: série de Taylor, propriedades de logaritmo e a expansão de .

Passo 2

Primeiro, usa a propriedade do log:
ln(16 - x^2) = lnl(16,(1 - tfracx^216)r) = ln 16 + lnl(1 - x^216r)
Aí separamos num pedaço constante ( ) e num pedaço pra expandir pela série de .

Passo 3

Lembra que, para ln(1 - u) = -sumn=1^infty u^nn , vale
Aqui basta identificar .

Passo 4

Substituindo lnl(1 - tfracx^216r) = -sumn=1^infty 1nl(tfracx^216r)^!n = -sumn=1^infty x^2nn,16^n na série:
f(x)=ln16 ;-;sumn=1^inftyx^2nn,16^n
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Resposta

O termo geral (para -x^2nn,16^n, ) da série de Taylor de boxedf(x)=ln16 ;-;sumn=1^inftyx^2nn,16^n, |x|<4 em torno de é
juntamente com o termo constante . Portanto,

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