Obtenha o termo geral da série de Taylor de
f(x)=atan(1-x1+x)
em torno de x0=0. Sugestão: Calcule a derivada primeira e aplique a série geométrica

Passo 1

Tranquilo, vou mandar bem passo a passo. O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de

em torno de f(x)=atan!l(1-x1+xr). Isso é conteúdo de séries de potência (Taylor/Maclaurin) e usar regra de derivação e série geométrica. Vamos precisar:
1. Derivar (chain rule + quotient rule).
2. Reconhecer uma série geométrica.
3. Integrar termo a termo para voltar de a .

Passo 2

Vamos achar u(x)=1-x1+x, . Seja
f(x)=atan(u(x))Longrightarrow f'(x)=u'(x)1+[u(x)]^2
então
Calculemos u'(x)=( -1)(1+x)-(1-x)cdot1(1+x)^2 =-1 - x -1 + x(1+x)^2 =-2(1+x)^2 por quociente:
1+l(tfrac1-x1+xr)^2 =(1+x)^2+(1-x)^2(1+x)^2 =2+2x^2(1+x)^2 =2(1+x^2)(1+x)^2
Agora o denominador f'(x) =-2/(1+x)^22(1+x^2)/(1+x)^2 =-11+x^2 :
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Passo 3

Sabemos que, para 11+x^2 =sumn=0^infty(-1)^n x^2n ,
f'(x)=-sumn=0^infty(-1)^n x^2n =sumn=0^infty(-1)^n+1x^2n
Então

Passo 4

Para ter f(x) =pi4+integral0^xsumn=0^infty(-1)^n+1t^2n,dt =pi4+sumn=0^infty(-1)^n+1x^2n+12n+1 , integramos termo a termo a partir de 0 e somamos :
  1. .
  2. .
    Então

Resposta

A série de Taylor de boxed atan!l(tfrac1-x1+xr) =pi4 +sumn=0^infty(-1)^n+1,x^2n+12n+1 em torno de 0 é
Ou, reescrevendo f(x)=pi4-sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1 ,

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