Considere a função
f(x)=asin(x)
Obtenha a série truncada de Taylor de f para x0=0 calculando as derivadas de f até é a 3^a ordem.

Passo 1

Beleza, antes de mais nada a gente quer achar a série de Taylor de terceira ordem (ou seja, até o termo em f(x) = arcsin(x) ) de
Tn(x) ;=;sumk=0^nf^(k)(x0)k!(x - x0)^k
em torno de .
Isso cai dentro de “Séries de Taylor”: pra isso vamos usar a fórmula
e, claro, precisamos calcular as derivadas de até a ordem 3 e avaliá-las em .

Passo 2

Fórmula geral em T3(x)=f(0) + f'(0),x + f''(0)2!,x^2 + f'''(0)3!,x^3 :
f'(x)=ddxl(arcsin(x)r) =1raiz1-x^2=(1-x^2)^-1/2
Vamos começar:
  1. .
  2. Derivada primeira:
Logo .

Passo 3

Agora a segunda derivada, usando a regra da cadeia em f''(x) =ddxl[(1-x^2)^-1/2r] =-tfrac12(1-x^2)^-3/2cdot(-2x) = x,(1-x^2)^-3/2 :
f''(0)=0cdot(1-0)^-3/2=0
Avaliando em zero dá

Passo 4

Terceira derivada: derivamos f'''(x) =underbrace1cdot(1-x^2)^-3/2derivada de x + xcdotunderbracel(-tfrac32(1-x^2)^-5/2cdot(-2x)r)derivada de (1-x^2)^-3/2 . É produto de f'''(x) =(1-x^2)^-3/2 + 3x^2,(1-x^2)^-5/2 =1-x^2+3x^2(1-x^2)^5/2 =1+2x^2(1-x^2)^5/2 por f'''(0)=1+2cdot0(1-0)^5/2=1 :
Isso dá
Em :

Passo 5

Bora montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
T3(x) =0 + 1cdot x + 02!x^2 + 13!x^3 = x + x^36

Resposta

boxedT3(x)=x+x^36

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