Calcule a raiz das funções abaixo. Use sempre 4 casas decimais.
f(x)=raizx-ln (1+x^2), para x0=-1,5 e |f(x)|<0,02.

Passo 1

O enunciado pede pra achar a raiz da função
f(x)=raizx-lnl(1+x^2r)
usando 4 casas decimais e a condição de parada . O método que vamos usar é o de Newton–Raphson, que exige saber (1) a expressão de , (2) sua derivada e (3) um chute inicial .

Passo 2

Antes de começar, nota importante: só existe para . O chute dado não está no domínio real de . Então vamos ajustar o chute para , que é razoavelmente próximo da raiz positiva.

Passo 3

Escrevendo a função e sua derivada:
f(x)=raizx-ln(1+x^2), f'(x)=12raizx-2x1+x^2
Explicando ao pé da letra:
  • tem derivada .
  • tem derivada .

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Para x1 = 1.5 - 0.04609-0.5148approx1.5896 :
  1. calcola .
  2. calcola .
  3. então

Passo 5

Vamos ver f(1.5896)approxraiz1.5896-ln(1+1.5896^2)approx1.2608-1.2598=0.0010, :
que é menor que 0.02. Então já atingimos a precisão pedida.

Resposta

A raiz aproximada, com 4 casas decimais e boxed1,5896 , é

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