Obtenha o termo geral da série de Taylor da função
abaixo. Sugestão: Complete os quadrados no denominador e use a série geométrica sem derivar.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o termo geral da série de Taylor (ou Maclaurin, já que vamos em torno de 0) de
O conteúdo aqui é séries de potências e, para resolver, a gente vai usar frações parciais (pra separar em duas frações simples) e a série geométrica
Passo 2
Primeiro, fazemos frações parciais. Queremos achar
e
tais que
Como
Escolhendo valores ótimos:
- Se
: . - Se
: .
Logo
Passo 3
Agora expandimos cada termo em série de potências em
:
- Para
usamos
- Para
usamos
Aqui
Juntando e lembrando que era
, temos
$$f(x)=-\sum_{n=0}^\infty x^n ;-;\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{2{n+1}},xn
=\sum_{n=0}\infty\Bigl(-1-\frac{(-1)n}{2{n+1}}\Bigr)xn,. $$
Resposta
O termo geral da série de Taylor (Maclaurin) é
$$a_n = -1 ;-;\frac{(-1)n}{2{,n+1}},\quadou seja\quad
f(x)=\sum_{n=0}\infty\Bigl(-1-\tfrac{(-1)n}{2{n+1}}\Bigr)xn,. $$