Obtenha o termo geral da série de Taylor da função f abaixo. Sugestão: Complete os quadrados no denominador e use a série geométrica sem derivar.
f(x) & =3x^2+x-2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o termo geral da série de Taylor (ou Maclaurin, já que vamos em torno de 0) de
f(x)=3x^2+x-2,
O conteúdo aqui é séries de potências e, para resolver, a gente vai usar frações parciais (pra separar em duas frações simples) e a série geométrica
11-u=sumn=0^infty u^n,, |u|<1,

Passo 2

Primeiro, fazemos frações parciais. Queremos achar A e B tais que
3x^2+x-2=Ax-1+Bx+2,
Como x^2+x-2=(x-1)(x+2), temos
3 = A(x+2)+B(x-1),
Escolhendo valores ótimos:
  • Se x=1: 3= Acdot3implies A=1.
  • Se x=-2: 3= Bcdot(-3)implies B=-1.
    Logo
f(x)=1x-1-1x+2,

Passo 3

Agora expandimos cada termo em série de potências em x:
  1. Para 1x-1 = -11-x usamos
-11-x = -sumn=0^infty x^n(válido para |x|<1)á
  1. Para 1x+2 = 12,11+ x2 usamos
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n(para |u|<1)
Aqui u= x2, então
1x+2=12sumn=0^infty(-1)^nl( x2r)^n=sumn=0^infty(-1)^n2^n+1,x^n,
Juntando e lembrando que era 1x-1-1x+2, temos
$$f(x)=-\sum_{n=0}^\infty x^n ;-;\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{2{n+1}},xn
=\sum_{n=0}\infty\Bigl(-1-\frac{(-1)n}{2{n+1}}\Bigr)xn,. $$

Resposta

O termo geral da série de Taylor (Maclaurin) é
$$a_n = -1 ;-;\frac{(-1)n}{2{,n+1}},\quadou seja\quad
f(x)=\sum_{n=0}\infty\Bigl(-1-\tfrac{(-1)n}{2{n+1}}\Bigr)xn,. $$

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