Resolva o sistema abaixo por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e sem pivoteamento. Compare os resultados.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas. O conteúdo é “eliminação de Gauss” (transformar em triangular e fazer back-substitution) e “pivoteamento parcial” (trocar linhas pra evitar divisão por pivô muito pequeno). Vamos precisar:
Montar a matriz aumentada
Fazer operações elementares de linha (somar, subtrair múltiplos)
Entender o conceito de pivô e por que trocar linhas ajuda na estabilidade numérica
No final, usar back-substitution pra achar .
Passo 2
Resolução SEM pivoteamento parcial
Montamos a matriz aumentada
Teoria: na eliminação de Gauss, a cada coluna escolhemos o pivô (aqui, a própria diagonal) e usamos ele para zerar os elementos abaixo. Operação: 2 & 2 & 1 & 1 &|&7 0 & -2 & tfrac32 & -tfrac32 &|&-tfrac52 0 & -1 & -tfrac92 & -tfrac72 &|&-tfrac132 0 & -1 & 0 & -1 &|&-2 , com ô.
Para zerar coluna 1 em baixo de :
Isso leva a
Passo 3
Continuando sem pivoteamento
Agora pivô m32=-1-2=tfrac12, m42=-1-2=tfrac12. Zeramos as entradas abaixo: multiplicadores
Agora já é triangular superior. Back-substitution:
Da última linha: .
Terceira linha: .
Segunda linha: .
Primeira: .
Passo 4
Resolução COM pivoteamento parcial
Teoria: em cada coluna, antes de zerar, a gente procura a maior entrada absoluta (no bloco “abaixo e inclusive” o pivô), e troca a linha do pivô com a linha do maior valor. Isso evita dividir por número muito pequeno e melhora a precisão.
Coluna 1: abs 4 & 3 & 2 & 1 &|&12 1 & -1 & 2 & -1 &|&1 3 & 2 & -3 & -2 &|&4 2 & 2 & 1 & 1 &|&7 , o maior é 4 (linha 4). Então trocamos . A matriz passa a
Passo 5
Continuando com piv. parcial
2) Zeramos abaixo de com .
3) Na segunda coluna, repetimos: entre as linhas 2–4, escolhemos o maior valor absoluto na coluna 2 e trocamos, etc.
4) Fazemos a mesma eliminação até triangular e back-substitution. (Os cálculos são análogos ao caso sem pivoteamento, só mudando a ordem das linhas.)
Passo 6
Comparação
Ambos os métodos convergem para a mesma solução exata
Sem pivoteamento você usa sempre o elemento da diagonal, mesmo se ele for pequeno
Com pivoteamento parcial você garante divisões por pivô maiores, mais estáveis em cálculo aproximado
Resposta
A solução do sistema, tanto sem quanto com pivoteamento parcial, é