Suponha que a matriz simétrica A de dimensão n times n possui uma única decomposição A= L times D times U, sendo D=(di, j) uma matriz diagonal, L=(elli, j) uma matriz triangular inferior e U=(ui, j) uma matriz triangular superior tais que
elli, i=ui, i=1, i=1,2, ldots, n
(a) Utilizando a fórmula para tranposta de um produto de matrizes: (M N)^t=N^t M^t, mostre que U=L^t.
(b) Se os elementos da matriz diagonal D são todos positivos, mostre que A possui uma fatoração da forma A=K K^t, sendo K uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz simétrica AinR^ntimes n com decomposição única
A = L,D,U
onde L é triangular inferior com elli,i=1, U é triangular superior com ui,i=1 e D é diagonal.
Vamos usar a propriedade da transposta de um produto
(MN)^t = N^t M^t
e a simetria de A para mostrar em (a) que U=L^t. Em (b), sabendo que os di,i>0, construiremos a fatoração de Cholesky
A = K,K^t
com K triangular inferior.

Passo 2

Como A é simétrica, temos A^t = A. Por outro lado, aplicando transposta em
A = L,D,U
usando (MN)^t=N^tM^t em dois passos,
A^t = (L,D,U)^t = U^t,D^t,L^t
Mas D é diagonal, logo D^t=D. Então
A = U^t,D,L^t
Pela unicidade da decomposição A=L,D,U, os fatores correspondentes devem coincidir, de modo que
L = U^t e U = L^t

Passo 3

Com U=L^t, reescrevemos
A = L,D,L^t
Como todos os di,i são positivos, existe a raiz quadrada diagonal
D^1/2 = diagl(raizd1,1,dots,raizdn,nr),
tendo D = D^1/2D^1/2. Então
A = L,(D^1/2D^1/2),L^t = (L,D^1/2),(L,D^1/2)^t

Passo 4

Definimos
K = L,D^1/2
Como L é triangular inferior e D^1/2 é diagonal, K também é triangular inferior. Além disso,
K,K^t = (L,D^1/2),(D^1/2L^t) = L,(D^1/2D^1/2),L^t = L,D,L^t = A

Resposta

(a) U = L^t.
(b) Se di,i>0, então tomando K = L,D^1/2 obtemos a decomposição de Cholesky
A = K,K^t,
com K triangular inferior.

Exercícios relacionados