Suponha que a matriz simétrica
de dimensão
possui uma única decomposição
, sendo
uma matriz diagonal,
uma matriz triangular inferior e
uma matriz triangular superior tais que
(a) Utilizando a fórmula para tranposta de um produto de matrizes:
, mostre que
.
(b) Se os elementos da matriz diagonal
são todos positivos, mostre que
possui uma fatoração da forma
, sendo
uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).
(b) Se os elementos da matriz diagonal
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz simétrica
com decomposição única
onde
é triangular inferior com
,
é triangular superior com
e
é diagonal.
Vamos usar a propriedade da transposta de um produto
Vamos usar a propriedade da transposta de um produto
e a simetria de
para mostrar em (a) que
. Em (b), sabendo que os
, construiremos a fatoração de Cholesky
com
triangular inferior.
Passo 2
Como
é simétrica, temos
. Por outro lado, aplicando transposta em
usando
em dois passos,
Mas
é diagonal, logo
. Então
Pela unicidade da decomposição
, os fatores correspondentes devem coincidir, de modo que
Passo 3
Com
, reescrevemos
Como todos os
são positivos, existe a raiz quadrada diagonal
tendo
. Então
Passo 4
Definimos
Como
é triangular inferior e
é diagonal,
também é triangular inferior. Além disso,
Resposta
(a)
.
(b) Se , então tomando
obtemos a decomposição de Cholesky
(b) Se
com
triangular inferior.