) Considere a função
. Estime o zero da função utilizando o método da falsa posição. Admita os chutes iniciais
e
. Como critério de parada, estabelece-se que
, onde
é a estimativa da raiz no passo
.
Solução:
Chutes iniciais:
Critério de parada:
Passo #1
Verificação do Critério de parada:
Passo #2
Verificação do Critério de parada:
Passo #3
Verificação do Critério de parada:
Passo #4
Verificação do Critério de parada:
Solução aproximada:
.
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede estimar o zero (a raiz) da função
. - Chutes iniciais dados:
e . - Critério de parada:
, onde é a estimativa no passo . - Admitimos aqui que
é o logaritmo natural (ou seja, ) — isso está compatível com os valores numéricos usados no enunciado (por exemplo ).
Passo 2
Explicação didática do método da falsa posição (regula falsi) e fórmula usada:
- Ideia: entre dois pontos
e com sinais opostos de (ou seja, ), aproximamos a raiz pela interseção da reta que passa por e com o eixo . - Fórmula da falsa posição:
onde:
-
é a cota inferior atual, -
é a cota superior atual, -
e são os valores da função nesses pontos, -
é a nova estimativa da raiz (interseção da corda). - Após calcular
, verificamos o sinal de : - se
, então a raiz está no intervalo e atualizamos ; - se
, então a raiz está no intervalo e atualizamos .
- se
- Repetimos até que
.
Passo 3
Avaliação inicial de
nos chutes:
Calculemos
e
:
Observação:
e
têm sinais opostos (
e
), então há pelo menos uma raiz no intervalo
e podemos aplicar a falsa posição.]
Passo 4
Iteração 1 (
):
- Aplicando a fórmula da falsa posição com
e :
Substituindo os valores numéricos:
- Avaliando
em :
- Verificação de sinal:
, então a raiz fica em . Atualizamos . - Verificação do critério de parada:
portanto continuamos.
Passo 5
Iteração 2 (
):
- Agora
, . - Fórmula:
Substituindo:
- Avaliando
em :
- Sinal:
, então atualizamos . - Verificação do critério:
portanto continuamos.
Passo 6
Iteração 3 (
):
- Com
, :
- Avaliando
em :
- Sinal:
, então atualizamos . - Verificação do critério:
ainda não satisfaz o critério, continuamos.
Passo 7
Iteração 4 (
):
- Com
, :
- Avaliando
em :
- Sinal:
, então atualizamos . - Verificação do critério:
Como o critério de parada foi satisfeito, paramos as iterações.