4^{\text {a }} ) Considere a função f(x)=\cos (x)-\log (x). Estime o zero da função utilizando o método da falsa posição. Admita os chutes iniciais x_{l}=1 e x_{u}=2. Como critério de parada, estabelece-se que |x[n]-x[n-1]|<10^{-4}, onde x[n] é a estimativa da raiz no passo n.
Solução:
f(x)=\cos (x)-\log (x)
Chutes iniciais:
\mathrm{xl}=1.00=\mathrm{x}[0]
\mathrm{xu}=2.00
Critério de parada: |\mathrm{x}[\mathrm{n}]-\mathrm{x}[\mathrm{n}-1]|<0.0001

Passo #1

x[1]=x u-(f(x u)) *(x u-x l) /(f(x u)-f(x l))
\mathrm{x}[1]=2.00-(-1.109294 \mathrm{E}+00) *(2.000000 \mathrm{E}+00-(1.000000 \mathrm{E}+00)) /(-1.109294 \mathrm{E}+00-(5.403023 \mathrm{E}-01))
\mathrm{x}[1]=1.327536 \mathrm{E}+00
\mathrm{f}(\mathrm{x}) * \mathrm{f}(\mathrm{xl})=\mathrm{f}(1.327536 \mathrm{E}+00) * \mathrm{f}(1.00)=(-4.245649 \mathrm{E}-02) *(5.403023 \mathrm{E}-01)=-2.293934 \mathrm{E}-02<0
\mathrm{xu}=1.32753607554947
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[1]-\mathrm{x}[0]|=3.2753607555 \mathrm{E}-01 \geq 1.00 \mathrm{E}-04

Passo #2

\mathrm{x}[2]=\mathrm{xu}-(\mathrm{f}(\mathrm{xu}))^{*}(\mathrm{xu}-\mathrm{xl}) /(\mathrm{f}(\mathrm{xu})-\mathrm{f}(\mathrm{xl}))
\mathrm{x}[2]=1.327536 \mathrm{E}+00-(-4.245649 \mathrm{E}-02) *(1.327536 \mathrm{E}+00-(1.00)) /(-4.245649 \mathrm{E}-02-(5.403023 \mathrm{E}-01))
\mathrm{x}[2]=1.303674 \mathrm{E}+00
\mathrm{f}(\mathrm{x}) * \mathrm{f}(\mathrm{xl})=\mathrm{f}(1.303674 \mathrm{E}+00) * \mathrm{f}(1.000000 \mathrm{E}+00)=(-1.228930 \mathrm{E}-03) *(5.403023 \mathrm{E}-01)=-6.639937 \mathrm{E}-04<0
\mathrm{xu}=1.30367366285407
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[2]-\mathrm{x}[1]|=2.3862412695 \mathrm{E}-02 \geq 1.00 \mathrm{E}-04

Passo #3

x[3]=x u-(f(x u)) *(x u-x l) /(f(x u)-f(x l))
\mathrm{x}[3]=1.303674 \mathrm{E}+00-(-1.228930 \mathrm{E}-03) *(1.303674 \mathrm{E}+00-(1.00)) /(-1.228930 \mathrm{E}-03-(5.403023 \mathrm{E}-01))
\mathrm{x}[3]=1.302985 \mathrm{E}+00
\mathrm{f}(\mathrm{x})^{*} \mathrm{f}(\mathrm{xl})=\mathrm{f}(1.302985 \mathrm{E}+00) * \mathrm{f}(1.000000 \mathrm{E}+00)=(-3.553078 \mathrm{E}-05)^{*}(5.403023 \mathrm{E}-01)=-1.919736 \mathrm{E}-05<0
\mathrm{xu}=1.30298451760269
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[3]-\mathrm{x}[2]|=6.8914525138 \mathrm{E}-04 \geq 1.00 \mathrm{E}-04

Passo #4

\mathrm{x}[4]=\mathrm{xu}-(\mathrm{f}(\mathrm{xu}))^{*}(\mathrm{xu}-\mathrm{xl}) /(\mathrm{f}(\mathrm{xu})-\mathrm{f}(\mathrm{xl}))
\mathrm{x}[4]=1.302985 \mathrm{E}+00-(-3.553078 \mathrm{E}-05) *(1.302985 \mathrm{E}+00-(1.00)) /(-3.553078 \mathrm{E}-05-(5.403023 \mathrm{E}-01))
\mathrm{x}[4]=1.302965 \mathrm{E}+00
\mathrm{f}(\mathrm{x}) * \mathrm{f}(\mathrm{xl})=\mathrm{f}(1.302965 \mathrm{E}+00) * \mathrm{f}(1.000000 \mathrm{E}+00)=(-1.027242 \mathrm{E}-06)^{*}(5.403023 \mathrm{E}-01)=-5.550212 \mathrm{E}-07<0
\mathrm{xu}=1.30296459437089
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[4]-\mathrm{x}[3]|=1.9923231798 \mathrm{E}-05<1.00 \mathrm{E}-04
Solução aproximada: \boldsymbol{x}=\mathbf{1 . 3 0 2 9 6 5}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede estimar o zero (a raiz) da função \displaystyle f(x)=\cos(x)-\log(x).
  • Chutes iniciais dados: \displaystyle x_l=1,00 e \displaystyle x_u=2,00.
  • Critério de parada: \displaystyle |x[n]-x[n-1]|<10^{-4}, onde \displaystyle x[n] é a estimativa no passo n.
  • Admitimos aqui que \log é o logaritmo natural (ou seja, \log=\ln) — isso está compatível com os valores numéricos usados no enunciado (por exemplo \log(1)=0).

Passo 2

Explicação didática do método da falsa posição (regula falsi) e fórmula usada:
  • Ideia: entre dois pontos \displaystyle x_l e \displaystyle x_u com sinais opostos de f (ou seja, f(x_l)\,f(x_u)<0), aproximamos a raiz pela interseção da reta que passa por (x_l,f(x_l)) e (x_u,f(x_u)) com o eixo x.
  • Fórmula da falsa posição:
x_{\text{new}} = x_u - f(x_u)\,\frac{x_u-x_l}{f(x_u)-f(x_l)}
onde:
  • \displaystyle x_l é a cota inferior atual,
  • \displaystyle x_u é a cota superior atual,
  • \displaystyle f(x_l) e \displaystyle f(x_u) são os valores da função nesses pontos,
  • \displaystyle x_{\text{new}} é a nova estimativa da raiz (interseção da corda).
  • Após calcular \displaystyle x_{\text{new}}, verificamos o sinal de f(x_{\text{new}}):
    • se f(x_{\text{new}})\,f(x_l)<0, então a raiz está no intervalo [x_l,x_{\text{new}}] e atualizamos x_u\leftarrow x_{\text{new}};
    • se f(x_{\text{new}})\,f(x_u)<0, então a raiz está no intervalo [x_{\text{new}},x_u] e atualizamos x_l\leftarrow x_{\text{new}}.
  • Repetimos até que |x[n]-x[n-1]|<10^{-4}.

Passo 3

Avaliação inicial de f nos chutes:
f(x)=\cos(x)-\log(x)
Calculemos \displaystyle f(1,00) e \displaystyle f(2,00):
\begin{aligned} f(1,00)&=\cos(1,00)-\log(1,00)=\cos(1,00)-0\approx 0,5403023059,\\[4pt] f(2,00)&=\cos(2,00)-\log(2,00)\approx -0,4161468365-0,6931471806\approx -1,1092940171. \end{aligned}
Observação: f(1,00) e f(2,00) têm sinais opostos ( >0 e <0), então há pelo menos uma raiz no intervalo [1,00,\,2,00] e podemos aplicar a falsa posição.]

Passo 4

Iteração 1 ( n=1):
  • Aplicando a fórmula da falsa posição com \displaystyle x_l=1,00 e \displaystyle x_u=2,00:
x[1]=2,00 - f(2,00)\,\frac{2,00-1,00}{f(2,00)-f(1,00)}.
Substituindo os valores numéricos:
x[1]=2,00 - (-1,1092940171)\,\frac{1,00}{-1,1092940171-0,5403023059} \approx 1,3275360755.
  • Avaliando f em x[1]:
f(1,3275360755)\approx -0,0424564900.
  • Verificação de sinal: f(1,3275360755)\cdot f(1,00) \approx (-0,04245649)\cdot 0,540302306 <0, então a raiz fica em [1,00,\,1,3275360755]. Atualizamos x_u\leftarrow 1,3275360755.
  • Verificação do critério de parada:
|x[1]-x[0]| = |1,3275360755-1,00| = 0,3275360755 \ge 10^{-4},
portanto continuamos.

Passo 5

Iteração 2 ( n=2):
  • Agora \displaystyle x_l=1,00, \displaystyle x_u=1,3275360755.
  • Fórmula:
x[2]=x_u - f(x_u)\,\frac{x_u-x_l}{f(x_u)-f(x_l)}.
Substituindo:
x[2]=1,3275360755 - (-0,0424564900)\,\frac{1,3275360755-1,00}{-0,0424564900-0,5403023059} \approx 1,3036736629.
  • Avaliando f em x[2]:
f(1,3036736629)\approx -0,0012289300.
  • Sinal: f(1,3036736629)\cdot f(1,00)<0, então atualizamos x_u\leftarrow 1,3036736629.
  • Verificação do critério:
|x[2]-x[1]|=|1,3036736629-1,3275360755|=0,0238624126 \ge 10^{-4},
portanto continuamos.

Passo 6

Iteração 3 ( n=3):
  • Com \displaystyle x_l=1,00, \displaystyle x_u=1,3036736629:
x[3]=1,3036736629 - (-0,0012289300)\,\frac{1,3036736629-1,00}{-0,0012289300-0,5403023059} \approx 1,3029845176.
  • Avaliando f em x[3]:
f(1,3029845176)\approx -0,0000355308.
  • Sinal: f(1,3029845176)\cdot f(1,00)<0, então atualizamos x_u\leftarrow 1,3029845176.
  • Verificação do critério:
|x[3]-x[2]|=|1,3029845176-1,3036736629|=0,0006891453 \ge 10^{-4},
ainda não satisfaz o critério, continuamos.

Passo 7

Iteração 4 ( n=4):
  • Com \displaystyle x_l=1,00, \displaystyle x_u=1,3029845176:
x[4]=1,3029845176 - (-0,0000355308)\,\frac{1,3029845176-1,00}{-0,0000355308-0,5403023059} \approx 1,3029645944.
  • Avaliando f em x[4]:
f(1,3029645944)\approx -0,0000010272.
  • Sinal: f(1,3029645944)\cdot f(1,00)<0, então atualizamos x_u\leftarrow 1,3029645944.
  • Verificação do critério:
|x[4]-x[3]|=|1,3029645944-1,3029845176|=0,0000199232 < 10^{-4}.
Como o critério de parada foi satisfeito, paramos as iterações.

Resposta

1,302965

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