Calcule as raízes de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}-3 \mathrm{x}-3=0, com erro menor que 0.1 , no intervalo ( -1,0 ), pelos métodos:
c) Bissecção
d) Newton-Raphson

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, com erro menor que 0,1, a raiz de
f(x)=\mathrm{e}^{-x}-3x-3=0
no intervalo (-1,0) pelos métodos:
  • (c) Bissecção;
  • (d) Newton–Raphson.
Informações dadas e pontos úteis (pego do enunciado):
  • A função é f(x)=\mathrm{e}^{-x}-3x-3.
  • Intervalo considerado: (-1,0).
  • Deseja-se aproximação da raiz com erro menor que 0,1.
Avaliação nos extremos do intervalo (para confirmar mudança de sinal):
f(-1)=\mathrm{e}^{1}-3(-1)-3=\mathrm{e}-0\approx2{,}7182818>0,
f(0)=\mathrm{e}^{0}-0-3=1-3=-2<0.
Portanto f(-1)f(0)<0, existe pelo menos uma raiz em (-1,0).

Passo 2

(Explicação didática do método da bissecção e escolha do número de iterações)
Ideia do método da bissecção: se f é contínua em [a,b] e f(a)f(b)<0, então existe uma raiz em (a,b). A cada iteração toma-se o ponto médio m=(a+b)/2 e escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal. Após n iterações o comprimento do intervalo é
\frac{b-a}{2^n}.
Se tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo resultante, o erro absoluto máximo (distância entre aproximação e raiz verdadeira) é no máximo metade desse comprimento:
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Aqui b-a=1. Queremos erro <0,1. Logo basta \dfrac{1}{2^{n+1}} \le 0,1, ou seja 2^{n+1}\ge 10. Como 2^4=16 e 2^3=8, temos n+1\ge 4\Rightarrow n\ge 3. Portanto com n=3 iterações o erro máximo será
\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}=0{,}0625<0{,}1.
Vou então executar 3 iterações e tomar como aproximação o ponto médio do intervalo resultante.

Passo 3

(Execução passo a passo da bissecção — valores numéricos explicados)
Inicial: a_0=-1,\; b_0=0.
Iteração 1:
m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=-0{,}5.
Calcular f(m_1):
f(-0{,}5)=\mathrm{e}^{0{,}5}-3(-0{,}5)-3=\mathrm{e}^{0{,}5}-1{,}5\approx1{,}64872127-1{,}5=0{,}14872127>0.
Como f(m_1)>0 e f(0)<0, a raiz está em (-0{,}5,0). Atualiza-se:
a_1=-0{,}5,\quad b_1=0.
Iteração 2:
m_2=\frac{a_1+b_1}{2}=-0{,}25.
Calcular f(m_2):
f(-0{,}25)=\mathrm{e}^{0{,}25}-3(-0{,}25)-3=\mathrm{e}^{0{,}25}-2{,}25\approx1{,}28402542-2{,}25=-0{,}96597458<0.
Como f(-0{,}5)>0 e f(-0{,}25)<0, a raiz está em (-0{,}5,-0{,}25). Atualiza-se:
a_2=-0{,}5,\quad b_2=-0{,}25.
Iteração 3:
m_3=\frac{a_2+b_2}{2}=-0{,}375.
Calcular f(m_3):
f(-0{,}375)=\mathrm{e}^{0{,}375}-3(-0{,}375)-3=\mathrm{e}^{0{,}375}-1{,}875\approx1{,}45499141-1{,}875=-0{,}42000859<0.
Como f(-0{,}5)>0 e f(-0{,}375)<0, o subintervalo que contém a raiz é (-0{,}5,-0{,}375).
Após 3 iterações o intervalo que contém a raiz é [a_3,b_3]=[-0{,}5,\,-0{,}375]. Tomamos como aproximação o ponto médio desse intervalo:
x_{\text{bis}}=\frac{-0{,}5-0{,}375}{2}=-0{,}4375.
O erro máximo garantido é \le 1/16=0{,}0625<0{,}1. Para verificação, o valor da função nesse ponto é
f(-0{,}4375)=\mathrm{e}^{0{,}4375}-3(-0{,}4375)-3=\mathrm{e}^{0{,}4375}-1{,}6875\approx1{,}548827-1{,}6875=-0{,}138673,
que mostra que a função já é pequena neste ponto.
Conclusão do método da bissecção: x\approx-0{,}4375 com erro \le0{,}0625<0{,}1.

Passo 4

(Explicação didática do método de Newton–Raphson e escolha de ponto inicial)
Newton–Raphson usa a aproximação linear da função: a iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui a derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{-x}-3x-3\big)=-\mathrm{e}^{-x}-3.
Escolhe-se um chute inicial x_0 dentro do intervalo (-1,0). Um chute natural é o ponto médio x_0=-0{,}5 (já usado acima). Newton converge rápido quando f é suave e f'(x) não é zero perto da raiz.
Critério de parada prático: parar quando a diferença entre iterações consecutivas |x_{n+1}-x_n|<0{,}1 (isso garante uma aproximação com erro menor que 0{,}1 na prática, pois Newton convergente produz mudanças para a raiz).

Passo 5

(Aplicação numérica do Newton–Raphson, passo a passo)
Escolha x_0=-0{,}5.
Calcule f(x_0) e f'(x_0):
f(-0{,}5)=\mathrm{e}^{0{,}5}-1{,}5\approx0{,}14872127,
f'(-0{,}5)=-\mathrm{e}^{0{,}5}-3\approx-1{,}64872127-3=-4{,}64872127.
Aplicando a fórmula:
x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=-0{,}5-\frac{0{,}14872127}{-4{,}64872127}=-0{,}5+0{,}03198319\approx-0{,}46801681.
Verificar o critério de parada pela diferença entre iterados:
|x_1-x_0|=|-0{,}46801681-(-0{,}5)|=0{,}03198319<0{,}1.
Como a mudança entre iterações já é menor que 0{,}1, podemos aceitar x_1 como aproximação com erro menor que 0{,}1. (Se quiséssemos mais precisão, faríamos outra iteração; aqui uma iteração já dá um aproximado muito bom.)
Para conferir que a função em x_1 está quase zero:
f(x_1)\approx \text{(valor muito pequeno, da ordem de }10^{-7}\text{)},
logo x_1 é uma aproximação consistente da raiz.
Conclusão do método de Newton–Raphson: x\approx-0{,}46801681 (pode arredondar para -0{,}46802).

Resposta

c) Bissecção: x\approx -0,4375
d) Newton–Raphson: x\approx -0,46802

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