Calcule as raízes de
, com erro menor que 0.1 , no intervalo (
), pelos métodos:
c) Bissecção
d) Newton-Raphson
c) Bissecção
d) Newton-Raphson
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, com erro menor que
, a raiz de
no intervalo
pelos métodos:
- (c) Bissecção;
- (d) Newton–Raphson.
Informações dadas e pontos úteis (pego do enunciado):
- A função é
. - Intervalo considerado:
. - Deseja-se aproximação da raiz com erro menor que
.
Avaliação nos extremos do intervalo (para confirmar mudança de sinal):
Portanto
, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 2
(Explicação didática do método da bissecção e escolha do número de iterações)
Ideia do método da bissecção: se
é contínua em
e
, então existe uma raiz em
. A cada iteração toma-se o ponto médio
e escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal. Após
iterações o comprimento do intervalo é
Se tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo resultante, o erro absoluto máximo (distância entre aproximação e raiz verdadeira) é no máximo metade desse comprimento:
Aqui
. Queremos erro
. Logo basta
, ou seja
. Como
e
, temos
. Portanto com
iterações o erro máximo será
Vou então executar 3 iterações e tomar como aproximação o ponto médio do intervalo resultante.
Passo 3
(Execução passo a passo da bissecção — valores numéricos explicados)
Inicial:
.
Iteração 1:
Calcular
:
Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se:
Iteração 2:
Calcular
:
Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se:
Iteração 3:
Calcular
:
Como
e
, o subintervalo que contém a raiz é
.
Após 3 iterações o intervalo que contém a raiz é
. Tomamos como aproximação o ponto médio desse intervalo:
O erro máximo garantido é
. Para verificação, o valor da função nesse ponto é
que mostra que a função já é pequena neste ponto.
Conclusão do método da bissecção:
com erro
.
Passo 4
(Explicação didática do método de Newton–Raphson e escolha de ponto inicial)
Newton–Raphson usa a aproximação linear da função: a iteração é
Aqui a derivada é
Escolhe-se um chute inicial
dentro do intervalo
. Um chute natural é o ponto médio
(já usado acima). Newton converge rápido quando
é suave e
não é zero perto da raiz.
Critério de parada prático: parar quando a diferença entre iterações consecutivas
(isso garante uma aproximação com erro menor que
na prática, pois Newton convergente produz mudanças para a raiz).
Passo 5
(Aplicação numérica do Newton–Raphson, passo a passo)
Escolha
.
Calcule
e
:
Aplicando a fórmula:
Verificar o critério de parada pela diferença entre iterados:
Como a mudança entre iterações já é menor que
, podemos aceitar
como aproximação com erro menor que
. (Se quiséssemos mais precisão, faríamos outra iteração; aqui uma iteração já dá um aproximado muito bom.)
Para conferir que a função em
está quase zero:
logo
é uma aproximação consistente da raiz.
Conclusão do método de Newton–Raphson:
(pode arredondar para
).
Resposta
c) Bissecção:
d) Newton–Raphson: