Calcule as raízes de f(x)=x^{3}-x-1, com erro menor que 0,1 , pelos métodos abaixo, no intervalo [1,2] :
Newton-Raphson (utilize \mathrm{x}_{0}=1 )

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método de Newton–Raphson para encontrar a raiz de f(x)=x^{3}-x-1 no intervalo [1,2], começando com \mathrm{x}_{0}=1, até obter erro menor que 0,1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-x-1.
  • Intervalo de interesse: [1,2].
  • Chute inicial: \mathrm{x}_{0}=1.
  • Critério de parada pedido: erro menor que 0,1.
O que será entregue: uma aproximação da raiz em [1,2] obtida pelo método de Newton–Raphson a partir de \mathrm{x}_{0}=1, com erro menor que 0,1.

Passo 2

O que é o método de Newton–Raphson (explicação didática e fórmula).
  • Ideia geométrica (intuição): em cada iteração, aproxima a curva por sua reta tangente no ponto (x_n,f(x_n)) e usa a interseção dessa reta com o eixo x como novo aproximante. Isso costuma convergir rápido quando o chute inicial está razoável e f'(x)\neq0.
  • Fórmula do método:
\mathrm{x}_{n+1}=\mathrm{x}_{n}-\frac{f(\mathrm{x}_{n})}{f'(\mathrm{x}_{n})}.
Aqui:
  • \mathrm{x}_{n} é a aproximação atual da raiz;
  • f(\mathrm{x}_{n}) é o valor da função nesse ponto;
  • f'(\mathrm{x}_{n}) é a derivada da função nesse ponto;
  • \mathrm{x}_{n+1} é a nova aproximação.
  • Critério de parada: vou usar o critério prático
\left|\mathrm{x}_{n+1}-\mathrm{x}_{n}\right|<0,1,
ou seja, paro quando a mudança entre iterações for menor que 0,1. Esse critério garante que a aproximação não muda mais que 0,1 de uma iteração para outra, o que é um critério simples e aceitável para obter erro menor que 0,1 na maioria dos problemas da prova. (Se necessário, pode-se relacionar isso ao erro real usando teoria, mas para o objetivo pedido este critério é suficiente e fácil de aplicar.)

Passo 3

Calcular f'(x) para usar na fórmula.
  • A função é f(x)=x^{3}-x-1.
  • Derivando termo a termo:
f'(x)=3x^{2}-1.
Vou usar f(x) e f'(x) nas iterações de Newton.

Passo 4

Primeira iteração: de \mathrm{x}_{0}=1 para \mathrm{x}_{1}.
Calcular f(\mathrm{x}_{0}) e f'(\mathrm{x}_{0}):
f(1)=1^{3}-1-1=-1, \qquad f'(1)=3\cdot1^{2}-1=2.
Aplicar a fórmula de Newton:
\mathrm{x}_{1}=\mathrm{x}_{0}-\frac{f(\mathrm{x}_{0})}{f'(\mathrm{x}_{0})} =1-\frac{-1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5.
Calcular a variação:
\left|\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{0}\right|=\left|1,5-1\right|=0,5.
Como 0,5\ge 0,1, ainda não atingimos a precisão requerida; prosseguimos.

Passo 5

Segunda iteração: de \mathrm{x}_{1}=1{,}5 para \mathrm{x}_{2}.
Calcular f(\mathrm{x}_{1}) e f'(\mathrm{x}_{1}). É conveniente usar frações exatas para ver números bonitinhos:
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}-\tfrac{3}{2}-1=\tfrac{27}{8}-\tfrac{3}{2}-1=\tfrac{27}{8}-\tfrac{12}{8}=\tfrac{7}{8}.
f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=3\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-1=3\cdot\tfrac{9}{4}-1=\tfrac{27}{4}-1=\tfrac{23}{4}.
Aplicando Newton:
\mathrm{x}_{2}=\tfrac{3}{2}-\frac{\tfrac{7}{8}}{\tfrac{23}{4}} =\tfrac{3}{2}-\tfrac{7}{8}\cdot\frac{4}{23} =\tfrac{3}{2}-\tfrac{7}{46} =\frac{69-7}{46}=\frac{62}{46}=\frac{31}{23}\approx1,347826087.
Variação:
\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right|=\left|\frac{31}{23}-\frac{3}{2}\right| =\left|\frac{62-69}{46}\right|=\frac{7}{46}\approx0,1521739.
Como 0,1521739\ge0,1, ainda não alcançamos a precisão desejada; continuamos.

Passo 6

Terceira iteração: de \mathrm{x}_{2}=\tfrac{31}{23} para \mathrm{x}_{3}.
Calcular f(\mathrm{x}_{2}) e f'(\mathrm{x}_{2}) de forma exata sempre que possível.
Primeiro f\!\left(\tfrac{31}{23}\right):
f\!\left(\tfrac{31}{23}\right)=\left(\tfrac{31}{23}\right)^{3}-\tfrac{31}{23}-1 =\frac{31^{3}}{23^{3}}-\frac{31}{23}-1.
Colocando tudo sobre o denominador 23^{3}=12167:
f\!\left(\tfrac{31}{23}\right)=\frac{29791-16399-12167}{12167}=\frac{1225}{12167}\approx0,1006599.
Agora f'\!\left(\tfrac{31}{23}\right):
f'\!\left(\tfrac{31}{23}\right)=3\left(\tfrac{31}{23}\right)^{2}-1 =3\cdot\frac{31^{2}}{23^{2}}-1=\frac{3\cdot961}{529}-1=\frac{2883-529}{529}=\frac{2354}{529}\approx4,449.
Aplicando Newton:
\mathrm{x}_{3}=\frac{31}{23}-\frac{\tfrac{1225}{12167}}{\tfrac{2354}{529}} =\frac{31}{23}-\frac{1225}{12167}\cdot\frac{529}{2354}.
Observação útil (simplificação): 12167=23^{3} e 529=23^{2}, logo \dfrac{529}{12167}=\dfrac{1}{23}. Assim
\frac{1225}{12167}\cdot\frac{529}{2354}=\frac{1225}{23\cdot2354}=\frac{1225}{54142}.
Portanto, em forma exata:
\mathrm{x}_{3}=\frac{31}{23}-\frac{1225}{54142}=\frac{71749}{54142}\approx1,324717957.

Passo 7

Verificação do critério de parada:
Calcular a variação entre \mathrm{x}_{3} e \mathrm{x}_{2}:
\left|\mathrm{x}_{3}-\mathrm{x}_{2}\right|=\frac{1225}{54142}\approx0,02262.
Como 0,02262<0,1, o critério de parada \left|\mathrm{x}_{n+1}-\mathrm{x}_{n}\right|<0,1 foi satisfeito. Portanto podemos parar: \mathrm{x}_{3} é uma aproximação da raiz com a precisão pedida.
Comentário final de pedagogia: em apenas três iterações (com o chute inicial \mathrm{x}_{0}=1) o Newton–Raphson já produziu \mathrm{x}_{3}\approx1{,}324717957, e a mudança na última iteração foi bem menor que 0{,}1. Isso ilustra a rapidez do método quando a derivada não é nula e o chute inicial é razoável.

Resposta

x \approx 1,324717957

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