Calcule as raízes de f(x)=x^{3}-x-1, com erro menor que 0,1 , pelos métodos abaixo, no intervalo [1,2] :
Newton-Raphson (utilize \mathrm{x}_{0}=1 )
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método de Newton–Raphson para encontrar a raiz de f(x)=x^{3}-x-1 no intervalo [1,2], começando com \mathrm{x}_{0}=1, até obter erro menor que 0,1.
Informações dadas:
A função é f(x)=x^{3}-x-1.
Intervalo de interesse: [1,2].
Chute inicial: \mathrm{x}_{0}=1.
Critério de parada pedido: erro menor que 0,1.
O que será entregue: uma aproximação da raiz em [1,2] obtida pelo método de Newton–Raphson a partir de \mathrm{x}_{0}=1, com erro menor que 0,1.
Passo 2
O que é o método de Newton–Raphson (explicação didática e fórmula).
Ideia geométrica (intuição): em cada iteração, aproxima a curva por sua reta tangente no ponto (x_n,f(x_n)) e usa a interseção dessa reta com o eixo x como novo aproximante. Isso costuma convergir rápido quando o chute inicial está razoável e f'(x)\neq0.
f(\mathrm{x}_{n}) é o valor da função nesse ponto;
f'(\mathrm{x}_{n}) é a derivada da função nesse ponto;
\mathrm{x}_{n+1} é a nova aproximação.
Critério de parada: vou usar o critério prático
\left|\mathrm{x}_{n+1}-\mathrm{x}_{n}\right|<0,1,
ou seja, paro quando a mudança entre iterações for menor que 0,1. Esse critério garante que a aproximação não muda mais que 0,1 de uma iteração para outra, o que é um critério simples e aceitável para obter erro menor que 0,1 na maioria dos problemas da prova. (Se necessário, pode-se relacionar isso ao erro real usando teoria, mas para o objetivo pedido este critério é suficiente e fácil de aplicar.)
Passo 3
Calcular f'(x) para usar na fórmula.
A função é f(x)=x^{3}-x-1.
Derivando termo a termo:
f'(x)=3x^{2}-1.
Vou usar f(x) e f'(x) nas iterações de Newton.
Passo 4
Primeira iteração: de \mathrm{x}_{0}=1 para \mathrm{x}_{1}.
Como 0,02262<0,1, o critério de parada \left|\mathrm{x}_{n+1}-\mathrm{x}_{n}\right|<0,1 foi satisfeito. Portanto podemos parar: \mathrm{x}_{3} é uma aproximação da raiz com a precisão pedida.
Comentário final de pedagogia: em apenas três iterações (com o chute inicial \mathrm{x}_{0}=1) o Newton–Raphson já produziu \mathrm{x}_{3}\approx1{,}324717957, e a mudança na última iteração foi bem menor que 0{,}1. Isso ilustra a rapidez do método quando a derivada não é nula e o chute inicial é razoável.