1. Seja f(x)=e^{x}-3 x no intervalo [ 1,2 ]. Calcule, usando o Método da Secante, uma aproximação para esta raiz tomando x^{\prime}=x_{n}, no qual \left|x_{n}-x_{n}-1\right|< 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado fornece os dados e pede uma coisa clara. Dados:
  • A função é f(x)=e^{x}-3x.
  • O intervalo dado é [1,2].
  • O critério de parada é \left|x_{n}-x_{n-1}\right|<10^{-2}.
    O que é pedido:
  • Usando o Método da Secante, obter uma aproximação da raiz (isto é, um x') tal que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que 10^{-2}.

Passo 2

Explicando o Método da Secante (fórmula e significado das variáveis), do jeitinho que precisa entender para aplicar na prova:
  • A ideia da secante é aproximar a curva y=f(x) por uma reta que passa por dois pontos \big(x_{k-1},f(x_{k-1})\big) e \big(x_{k},f(x_{k})\big) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{k+1}.
  • A fórmula da iteração é
x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\cdot\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
  • Interpretação das variáveis:
    • x_{k-1} e x_{k} são as duas últimas aproximações conhecidas.
    • f(x_{k-1}) e f(x_{k}) são os valores da função nesses pontos.
    • x_{k+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da reta secante com o eixo x.
  • Critério de parada que usaremos: parar quando \left|x_{k+1}-x_{k}\right|<10^{-2}. Quando isso acontecer, tomamos x'\approx x_{k+1}.

Passo 3

Escolha das aproximações iniciais (informação do enunciado): como o intervalo dado é [1,2], é natural começar com
x_{0}=1,\qquad x_{1}=2.
Agora calcular f nesses pontos (estes valores serão usados nas iterações; vou aproximar com 6 casas decimais para manter precisão manual razoável):
f(1)=e^{1}-3\cdot1=e-3\approx 2,7182818-3=-0,2817182,
f(2)=e^{2}-3\cdot2\approx 7,3890561-6=1,3890561.
Vou denotar f_0=f(x_0)=-0,2817182 e f_1=f(x_1)=1,3890561.

Passo 4

Calcular x_{2} usando a fórmula da secante com k=1:
x_{2}=x_{1}-f_{1}\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f_{1}-f_{0}} =2-1,3890561\cdot\frac{2-1}{1,3890561-(-0,2817182)}.
Calculemos o denominador e a divisão:
f_{1}-f_{0}=1,3890561-(-0,2817182)=1,6707743.
\frac{1,3890561}{1,6707743}\approx 0,831385,
portanto
x_{2}\approx 2-0,831385=1,168615.

Passo 5

Avaliar f(x_{2}). Primeiro, estimar e^{1,168615}. Usando expansão ou aproximação numérica rápida:
e^{1,168615}\approx 3,217360,
então
f_{2}=f(1,168615)=e^{1,168615}-3\cdot1,168615\approx 3,217360-3,505845=-0,288485.

Passo 6

Calcular x_{3} com x_{1}=2 e x_{2}=1,168615:
x_{3}=x_{2}-f_{2}\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f_{2}-f_{1}} =1,168615-(-0,288485)\cdot\frac{1,168615-2}{-0,288485-1,3890561}.
Compute os termos:
x_{2}-x_{1}=1,168615-2=-0,831385,
f_{2}-f_{1}=-0,288485-1,3890561=-1,6775411.
\frac{f_{2}\,(x_{2}-x_{1})}{f_{2}-f_{1}}=\frac{(-0,288485)\cdot(-0,831385)}{-1,6775411}\approx -0,142962.
Assim
x_{3}\approx 1,168615-(-0,142962)=1,311577.

Passo 7

Avaliar f(x_{3}). Estimativa:
e^{1,311577}\approx 3,711940,
f_{3}=f(1,311577)\approx 3,711940-3\cdot1,311577=3,711940-3,934731=-0,222791.

Passo 8

Calcular x_{4} usando x_{2}=1,168615 e x_{3}=1,311577:
x_{4}=x_{3}-f_{3}\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f_{3}-f_{2}} =1,311577-(-0,222791)\cdot\frac{1,311577-1,168615}{-0,222791-(-0,288485)}.
Cálculos intermédios:
x_{3}-x_{2}=0,142962,\qquad f_{3}-f_{2}=-0,222791-(-0,288485)=0,065694.
\frac{f_{3}\,(x_{3}-x_{2})}{f_{3}-f_{2}}=\frac{(-0,222791)\cdot0,142962}{0,065694}\approx -0,484900.
Logo
x_{4}\approx 1,311577-(-0,484900)=1,796477.

Passo 9

Avaliar f(x_{4}). Estimativa:
e^{1,796477}\approx 6,029999,
f_{4}=e^{1,796477}-3\cdot1,796477\approx 6,029999-5,389431=0,640568.

Passo 10

Calcular x_{5} usando x_{3}=1,311577 e x_{4}=1,796477:
x_{5}=x_{4}-f_{4}\cdot\frac{x_{4}-x_{3}}{f_{4}-f_{3}} =1,796477-0,640568\cdot\frac{1,796477-1,311577}{0,640568-(-0,222791)}.
Cálculos:
x_{4}-x_{3}=0,484900,\qquad f_{4}-f_{3}=0,863359.
\frac{f_{4}\,(x_{4}-x_{3})}{f_{4}-f_{3}}\approx\frac{0,640568\cdot0,484900}{0,863359}\approx0,359900.
x_{5}\approx 1,796477-0,359900=1,436577.

Passo 11

Avaliar f(x_{5}):
e^{1,436577}\approx 4,204500,
f_{5}=e^{1,436577}-3\cdot1,436577\approx 4,204500-4,309731=-0,105231.

Passo 12

Calcular x_{6} com x_{4}=1,796477 e x_{5}=1,436577:
x_{6}=x_{5}-f_{5}\cdot\frac{x_{5}-x_{4}}{f_{5}-f_{4}} =1,436577-(-0,105231)\cdot\frac{1,436577-1,796477}{-0,105231-0,640568}.
Cálculos:
x_{5}-x_{4}=-0,359900,\qquad f_{5}-f_{4}=-0,745799.
\frac{f_{5}\,(x_{5}-x_{4})}{f_{5}-f_{4}}=\frac{(-0,105231)\cdot(-0,359900)}{-0,745799}\approx -0,050789.
x_{6}\approx 1,436577-(-0,050789)=1,487366.

Passo 13

Avaliar f(x_{6}):
e^{1,487366}\approx 4,427900,
f_{6}=e^{1,487366}-3\cdot1,487366\approx 4,427900-4,462098=-0,034198.

Passo 14

Calcular x_{7} com x_{5}=1,436577 e x_{6}=1,487366:
x_{7}=x_{6}-f_{6}\cdot\frac{x_{6}-x_{5}}{f_{6}-f_{5}} =1,487366-(-0,034198)\cdot\frac{1,487366-1,436577}{-0,034198-(-0,105231)}.
Cálculos:
x_{6}-x_{5}=0,050789,\qquad f_{6}-f_{5}=0,071033.
\frac{f_{6}\,(x_{6}-x_{5})}{f_{6}-f_{5}}=\frac{(-0,034198)\cdot0,050789}{0,071033}\approx -0,024450.
x_{7}\approx 1,487366-(-0,024450)=1,511816.

Passo 15

Avaliar f(x_{7}):
e^{1,511816}\approx 4,535300,
f_{7}=e^{1,511816}-3\cdot1,511816\approx 4,535300-4,535448\approx -0,000148.
Observe que f_{7} já está muito próximo de zero (boa notícia!).

Passo 16

Calcular x_{8} com x_{6}=1,487366 e x_{7}=1,511816 e verificar o critério de parada:
x_{8}=x_{7}-f_{7}\cdot\frac{x_{7}-x_{6}}{f_{7}-f_{6}} =1,511816-(-0,000148)\cdot\frac{1,511816-1,487366}{-0,000148-(-0,034198)}.
Cálculos:
x_{7}-x_{6}=0,024450,\qquad f_{7}-f_{6}=0,034050.
\frac{f_{7}\,(x_{7}-x_{6})}{f_{7}-f_{6}}=\frac{(-0,000148)\cdot0,024450}{0,034050}\approx -0,000106.
x_{8}\approx 1,511816-(-0,000106)=1,511922.
Agora verificamos a diferença
\left|x_{8}-x_{7}\right|\approx 0,000106<10^{-2},
logo o critério de parada foi satisfeito. Tomamos x'=x_{8} como a aproximação pedida.

Resposta

x' \approx 1,511922

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