- Seja
no intervalo [ 1,2 ]. Calcule, usando o Método da Secante, uma aproximação para esta raiz tomando
, no qual
.
Passo 1
O enunciado fornece os dados e pede uma coisa clara. Dados:
- A função é
. - O intervalo dado é
. - O critério de parada é
.
O que é pedido: - Usando o Método da Secante, obter uma aproximação da raiz (isto é, um
) tal que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que .
Passo 2
Explicando o Método da Secante (fórmula e significado das variáveis), do jeitinho que precisa entender para aplicar na prova:
- A ideia da secante é aproximar a curva
por uma reta que passa por dois pontos e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - A fórmula da iteração é
- Interpretação das variáveis:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os valores da função nesses pontos. -
é a nova aproximação obtida pela interseção da reta secante com o eixo .
-
- Critério de parada que usaremos: parar quando
. Quando isso acontecer, tomamos .
Passo 3
Escolha das aproximações iniciais (informação do enunciado): como o intervalo dado é
, é natural começar com
Agora calcular
nesses pontos (estes valores serão usados nas iterações; vou aproximar com 6 casas decimais para manter precisão manual razoável):
Vou denotar
e
.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da secante com
:
Calculemos o denominador e a divisão:
portanto
Passo 5
Avaliar
. Primeiro, estimar
. Usando expansão ou aproximação numérica rápida:
então
Passo 6
Calcular
com
e
:
Compute os termos:
Assim
Passo 7
Avaliar
. Estimativa:
Passo 8
Calcular
usando
e
:
Cálculos intermédios:
Logo
Passo 9
Avaliar
. Estimativa:
Passo 10
Calcular
usando
e
:
Cálculos:
Passo 11
Avaliar
:
Passo 12
Calcular
com
e
:
Cálculos:
Passo 13
Avaliar
:
Passo 14
Calcular
com
e
:
Cálculos:
Passo 15
Avaliar
:
Observe que
já está muito próximo de zero (boa notícia!).
Passo 16
Calcular
com
e
e verificar o critério de parada:
Cálculos:
Agora verificamos a diferença
logo o critério de parada foi satisfeito. Tomamos
como a aproximação pedida.