Calcule as raízes quartas de z=-16 i.

Passo 1

O exercício pede para a gente achar as quatro raízes (raízes quartas) do número complexo
z = -16,i
Isso é parte da matéria de números complexos: transformar um número em forma polar e usar a fórmula geral de raízes wk = r^1/n,e^itheta+2pi kn, k=0,1,dots,n-1 -ésimas (De Moivre). Para resolver, vamos precisar de
  1. módulo e argumento de ;
  2. fórmula das raízes -ésimas: se , então

Passo 2

Primeiro, convertemos r = |z| = | -16,i| = 16 para a forma polar theta = -pi2 (ou equiva<=ntemente tfrac3pi2, mas usamos (-tfracpi2)) .
  • Módulo:
z = 16,e^,il(-pi2r)
  • Argumento principal: está no eixo negativo imaginário, logo
Então

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula das raízes quartas wk = r^1/4,e^,itheta+2pi k4 =16^1/4,e^,i-pi2+2pi k4 =2,e^,il(-tfracpi8+tfracpi2kr), k=0,1,2,3 :

Passo 4

Só falta listar cada valor para w0 &= 2,e^,il(-tfracpi8r), w1 &= 2,e^,il(-tfracpi8 + tfracpi2r) =2,e^,il(tfrac3pi8r), w2 &= 2,e^,il(-tfracpi8 + pir) =2,e^,il(tfrac7pi8r), w3 &= 2,e^,il(-tfracpi8 + tfrac3pi2r) =2,e^,il(tfrac11pi8r) :

Resposta

As quatro raízes quartas de w0 = 2,e^-ipi/8, w1 = 2,e^i3pi/8, w2 = 2,e^i7pi/8, w3 = 2,e^i11pi/8 são

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