Use a relação de Euler para calcular e^i pi4 e e^-i pi3.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar a fórmula de Euler e achar
e^i pi4 e e^-i pi3
Isso é parte de números complexos e trigonometria: a gente vai precisar da relação de Euler
e^itheta = costheta + i,sintheta
e também saber valores de seno e cosseno em ângulos “especiais” (π/4, π/3, etc).

Passo 2

Primeiro, lembra da Fórmula de Euler: para qualquer real θ,
e^itheta = costheta + i,sintheta
Ou seja, transformar a potência exponencial complexa em combinação de cosseno (parte real) e seno (parte imaginária).

Passo 3

Vamos aplicar isso em θ = π/4. Sabemos que
cos!l(tfracpi4r) = tfracraiz22, sin!l(tfracpi4r) = tfracraiz22
Então
e^ipi4 = cos!l(tfracpi4r) + i,sin!l(tfracpi4r) = tfracraiz22 + i,tfracraiz22

Passo 4

Agora θ = -π/3. A gente usa que
cos(-theta) = costheta, sin(-theta) = -sintheta,
e que para π/3 temos
cos!l(tfracpi3r) = tfrac12, sin!l(tfracpi3r) = tfracraiz32
Portanto
e^-ipi3 = cos!l(-tfracpi3r) + i,sin!l(-tfracpi3r) = tfrac12 + i!l(-tfracraiz32r) = tfrac12 - i,tfracraiz32

Resposta

e^ipi4 = tfracraiz22 + i,tfracraiz22, e^-ipi3 = tfrac12 - i,tfracraiz32

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