Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que varepsilon dado:
integral-1^2 e^-x^2 d x varepsilon=10^-5.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral
integral-1^2 e^-x^2,dx
usando duas regras numéricas (Trapézio e Simpson), garantindo erro menor que
.
O conteúdo envolve:
  1. fórmula de erro do método do trapézio;
  2. fórmula de erro do método de Simpson;
  3. achar derivadas de (até a 4ª) e estimar seus máximos no intervalo;
  4. escolher o número de subintervalos pra cada método;
  5. montar a soma aproximada.

Passo 2

Primeiro, bora achar as derivadas necessárias e seus máximos em f''(x)=l(4x^2 -2r)e^-x^2 .
  1. f^(4)(x)=l(16x^4 -48x^2 +12r)e^-x^2 .
  2. Derivada segunda:
Para ver o “pior caso” de erro do trapézio, precisamos de
.
– Em : .
– Em : .
– Em : .
Logo o máximo é .
  1. Derivada quarta (pra regra de Simpson):
Analisando em pontos críticos e nas bordas, o maior valor absoluto ocorre em :
.
Então .

Passo 3

Regra do trapézio: o erro |ET|<= (b-a)^312,n^2,M2 =(2-(-1))^312,n^2cdot2 =27cdot212,n^2 =5412,n^2 =4.5n^2 satisfaz
n^2>= 4.510^-5 =450,000 Longrightarrow n>=raiz450,000approx670.82
Queremos h=b-an=3671, .
Isso dá
T671 =h2l[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+cdots+2f(x670)+f(x671)r]
Como T671approx 1.62884 precisa ser inteiro, escolhemos .
Com , o passo é
e a soma dos trapézios é
Se fizermos essa soma (no Python, por exemplo), dá aproximadamente

Passo 4

Regra de Simpson: o erro |ES|<= (b-a)^5180,n^4,M4 =3^5180,n^4cdot12 =243cdot12180,n^4 =2916180,n^4 =16.2n^4 satisfaz
n^4>= 16.210^-5=1.62times10^6 Longrightarrow n>=(1.62times10^6)^1/4approx35.7
Queremos h=336=112, .
S36 =h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+cdots+4f(x35)+f(x36)r]
Simpson exige S36approx 1.62884, par, então pegamos .
Com ,
e montamos
Fazendo a soma dá
já com erro menor que .

Resposta

– Pela regra do trapézio, com :
.
– Pela regra de Simpson, com :
.

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