Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que
dado:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral
usando duas regras numéricas (Trapézio e Simpson), garantindo erro menor que
.
O conteúdo envolve:
O conteúdo envolve:
- fórmula de erro do método do trapézio;
- fórmula de erro do método de Simpson;
- achar derivadas de
(até a 4ª) e estimar seus máximos no intervalo; - escolher o número de subintervalos
pra cada método; - montar a soma aproximada.
Passo 2
Primeiro, bora achar as derivadas necessárias e seus máximos em
.
-
. - Derivada segunda:
Para ver o “pior caso” de erro do trapézio, precisamos de
.
– Em :
.
– Em :
.
– Em :
.
Logo o máximo é .
– Em
– Em
– Em
Logo o máximo é
- Derivada quarta (pra regra de Simpson):
Analisando em pontos críticos e nas bordas, o maior valor absoluto ocorre em
:
.
Então .
Então
Passo 3
Regra do trapézio: o erro
satisfaz
Queremos
.
Isso dá
Isso dá
Como
precisa ser inteiro, escolhemos
.
Com
, o passo é
e a soma dos trapézios é
Se fizermos essa soma (no Python, por exemplo), dá aproximadamente
Passo 4
Regra de Simpson: o erro
satisfaz
Queremos
.
Simpson exige
par, então pegamos
.
Com
,
e montamos
Fazendo a soma dá
já com erro menor que
.
Resposta
– Pela regra do trapézio, com
:
.
– Pela regra de Simpson, com :
.
– Pela regra de Simpson, com