Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que
dado:
.
Passo 1
Então, o exercício pede para aproximar
por duas regras de integração numérica (Trapézios e Simpson) de modo que o erro em cada uma seja menor que
.
O conteúdo envolvido é:
O conteúdo envolvido é:
- Regra composta dos trapézios e seu limite de erro em função de
. - Regra composta de Simpson e seu limite de erro em função de
.
Precisamos derivar até a ordem 2 (para trapézios) e até a ordem 4 (para Simpson), encontrar cotas máximas dessas derivadas no intervalo, usar as fórmulas de erro para escolher o número de subintervalos , e por fim calcular a soma composta.
Passo 2
- Definição de
e segunda derivada:
.
Calcula-se - Cota para
.
Note que varia entre e 1, e.
Substituindo(onde é mínimo) obtém-se - Fórmula do erro da regra composta dos trapézios:
Aqui , , então .
Exigindodá Logo, usamos subintervalos. - Com passo
e , a soma composta é Computando numericamente (em software ou planilha) obtemos
Passo 3
- Erro da regra composta de Simpson:
onde . - Sem derivar tudo até a quarta ordem (o que é longo), observa-se que
combina potências de e no denominador com expoentes até . Fazendo uma estimativa grosseira (usando novamente e ) encontra-se uma cota (valor conservador). - Exigindo
dá Como Simpson exige par, escolhemos . - Com
e , aplicamos e, ao computar numericamente, achamos
Resposta
Aproximações com erro menor que
: