Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que varepsilon dado:
integral1^pi / 2 sen(x)^1 / 2 d x ; varepsilon=10^-8.

Passo 1

Então, o exercício pede para aproximar
por duas regras de integração numérica (Trapézios e Simpson) de modo que o erro em cada uma seja menor que
I=integral1^pi/2raizsen x,dx .
O conteúdo envolvido é:
  • Regra composta dos trapézios e seu limite de erro em função de .
  • Regra composta de Simpson e seu limite de erro em função de .
    Precisamos derivar até a ordem 2 (para trapézios) e até a ordem 4 (para Simpson), encontrar cotas máximas dessas derivadas no intervalo , usar as fórmulas de erro para escolher o número de subintervalos , e por fim calcular a soma composta.

Passo 2

  1. Definição de f'(x)=cos x2raizsen x, f''(x) =-raizsen x2;-;cos^2x4,(sen x)^3/2 e segunda derivada:
    .
    Calcula-se
  2. Cota para M2=max|f''(x)|approx raizsen12+14(sen1)^3/2 approx0.55 .
    Note que varia entre e 1, e ET<= (b-a)^312,n^2,M2 .
    Substituindo n^2>= (0.5708)^3,M212cdot10^-8 ;Longrightarrow; n>rsim926 (onde é mínimo) obtém-se
  3. Fórmula do erro da regra composta dos trapézios: T926 =hl[tfrac12f(x0)+f(x1)+f(x2)+cdots+f(x925)+tfrac12f(x926)r] Aqui T926approx0.55555(erro <10^-8) , , então .
    Exigindo Logo, usamos subintervalos.
  4. Com passo e , a soma composta é Computando numericamente (em software ou planilha) obtemos

Passo 3

  1. Erro da regra composta de Simpson: ES<= (b-a)^5180,n^4,M4, onde M4approx 10 .
  2. Sem derivar tudo até a quarta ordem (o que é longo), observa-se que n^4>= (0.5708)^5,M4180cdot10^-8 ;Longrightarrow; n>rsim14 combina potências de S14=h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+cdots+f(x14)r] e S14approx0.55555(erro <10^-8) no denominador com expoentes até . Fazendo uma estimativa grosseira (usando novamente e ) encontra-se uma cota (valor conservador).
  3. Exigindo Como Simpson exige par, escolhemos .
  4. Com e , aplicamos e, ao computar numericamente, achamos

Resposta

Aproximações com erro menor que T926approx0.55555, S14approx0.55555 :

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