Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que 
  dado:
 .
Passo 1
Opa! Então o problema é calcular a integral
usando duas regras de Newton–Cotes (trapézio e Simpson) de forma que o erro em cada aproximação seja menor que
 .
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio e de Simpson) e estimativa de erro via derivadas de .
Vamos precisar
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio e de Simpson) e estimativa de erro via derivadas de
Vamos precisar
- Das fórmulas de erro para trapézio e Simpson;
 - das derivadas 
e para encontrar um e (cota superior dos módulos dessas derivadas em );  - e daí calcular o número mínimo de subintervalos 
que satisfaça a tolerância .  
Passo 2
Regra do trapézio com passo 
 .
Fórmula do erro:
Fórmula do erro:
- Calcula-se
 
- Em 
, e , logo  
- Então
 
Para garantir 
  basta
Podemos então escolher 
 .
Passo 3
Regra de Simpson com 
  subintervalos (precisa ser 
  par) e passo 
 .
Fórmula do erro:
Fórmula do erro:
- Já tínhamos 
. Derivando mais duas vezes dá  
- Em 
: 
e , 
então 
- Logo
 
Para 
  precisamos
Como Simpson exige 
  par, tomamos 
 .
Passo 4
Agora aplicamos de fato as fórmulas:
- Para trapézio, com 
e ,  - Para Simpson, com 
e ,  
Em ambas as regras o valor aproximado coincide (com erro abaixo de 
 ).
Resposta
Integral 
  aproximada por:
- Regra do trapézio (com 
): 0,3102683  - Regra de Simpson (com 
): 0,3102683