Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que
dado:
.
Passo 1
Opa! Então o problema é calcular a integral
usando duas regras de Newton–Cotes (trapézio e Simpson) de forma que o erro em cada aproximação seja menor que
.
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio e de Simpson) e estimativa de erro via derivadas de .
Vamos precisar
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio e de Simpson) e estimativa de erro via derivadas de
Vamos precisar
- Das fórmulas de erro para trapézio e Simpson;
- das derivadas
e para encontrar um e (cota superior dos módulos dessas derivadas em ); - e daí calcular o número mínimo de subintervalos
que satisfaça a tolerância .
Passo 2
Regra do trapézio com passo
.
Fórmula do erro:
Fórmula do erro:
- Calcula-se
- Em
, e , logo
- Então
Para garantir
basta
Podemos então escolher
.
Passo 3
Regra de Simpson com
subintervalos (precisa ser
par) e passo
.
Fórmula do erro:
Fórmula do erro:
- Já tínhamos
. Derivando mais duas vezes dá
- Em
:
e ,
então
- Logo
Para
precisamos
Como Simpson exige
par, tomamos
.
Passo 4
Agora aplicamos de fato as fórmulas:
- Para trapézio, com
e , - Para Simpson, com
e ,
Em ambas as regras o valor aproximado coincide (com erro abaixo de
).
Resposta
Integral
aproximada por:
- Regra do trapézio (com
): 0,3102683 - Regra de Simpson (com
): 0,3102683