Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que varepsilon dado:
integral0^3 cos (x^2) d x varepsilon=2 cdot 10^-6.

Passo 1

Opa! Então o problema é calcular a integral
I=integral0^3cos(x^2),dx
usando duas regras de Newton–Cotes (trapézio e Simpson) de forma que o erro em cada aproximação seja menor que
.
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio e de Simpson) e estimativa de erro via derivadas de .
Vamos precisar
  • Das fórmulas de erro para trapézio e Simpson;
  • das derivadas e para encontrar um e (cota superior dos módulos dessas derivadas em );
  • e daí calcular o número mínimo de subintervalos que satisfaça a tolerância .

Passo 2

Regra do trapézio com passo |ET|<= (b-a)^312,n^2,max[0,3]|f''(x)|, .
Fórmula do erro:
f(x)=cos(x^2), f'(x)=-2xsin(x^2), f''(x)=-2sin(x^2)-4x^2cos(x^2)
  1. Calcula-se
|f''(x)|<= 2+4cdot3^2=2+36=38
  1. Em |ET|<= 3^312,n^2,38 =27cdot3812,n^2 =102612,n^2 =85.5n^2 , n^2>= 85.52times10^-6 =42,750,000 Longrightarrow n>=raiz42,750,000approx6,538 e , logo
  1. Então
Para garantir basta
Podemos então escolher .

Passo 3

Regra de Simpson com |ES|<= (b-a)^5180,n^4,max[0,3]|f^(4)(x)|, subintervalos (precisa ser f^(4)(x) =cos(x^2),(16x^4-12)+48x^2sin(x^2) par) e passo |f^(4)(x)|<=1284+432=1716 .
Fórmula do erro:
|ES|<=3^5180,n^4,1716 =243cdot1716180,n^4 =417,588180,n^4 approx2320n^4
  1. Já tínhamos n^4>=23202times10^-6 =1,16times10^9 Longrightarrow n>=(1,16times10^9)^1/4approx303,3 . Derivando mais duas vezes dá
  1. Em :
    e ,
    então
  1. Logo
Para precisamos
Como Simpson exige par, tomamos .

Passo 4

Agora aplicamos de fato as fórmulas:
  • Para trapézio, com T6538 =h2l[f(0)+2sumi=1^6537f(xi)+f(3)r] approx0,3102683 e S304 =h3l[f(0)+4sumímparf(xi) +2sumparf(xi)+f(3)r] approx0,3102683 ,
  • Para Simpson, com e , í
Em ambas as regras o valor aproximado coincide (com erro abaixo de ).

Resposta

Integral aproximada por:
  • Regra do trapézio (com ): 0,3102683
  • Regra de Simpson (com ): 0,3102683

Exercícios relacionados