Use integração numérica para calcular com precisão inferior a 10^-8 o valor de:
sen 1^circ

Passo 1

O exercício pede para a gente usar integração numérica e calcular com erro menor que o valor de .
Conteúdo da matéria:
  • Conceito de integração numérica (regra de Simpson composta).
  • Conversão de graus para radianos.
  • Cálculo do erro de Simpson para garantir a precisão requerida.
O que a gente vai precisar:
  1. Saber que .
  2. Converter em radianos ( ).
  3. Aplicar a regra de Simpson composta e usar o limite de erro para escolher o número de subdivisões.

Passo 2

Converter x ;=; 1^circ ;=;pi180;rad,approx 0,01745329252, para radianos:
sen(1^circ);=;integral0^pi/180cos t,dt,
Então a gente quer

Passo 3

Apresentando a regra de Simpson composta (para integrala^b f(t),dt approx SN = h3l[f(t0)+4f(t1)+2f(t2)+dots+4f(tN-1)+f(tN)r] subdivisões pares):
l|ESr|;<=;(b-a)^5180,N^4;maxxiin[a,b]l|f^(4)(xi)r|
com e .
Erro máximo (bound) da regra de Simpson:
Aqui , então e .

Passo 4

Queremos x^5180,N^4<10^-8 Longrightarrow N^4>x^5180cdot10^-8 . Como x^5approx(0.0174533)^5approx1.62times10^-9 ;Longrightarrow; x^5180cdot10^-8approx9times10^-4, , impomos
Numeração aproximada:
logo .
Como deve ser par e inteiro, basta .

Passo 5

Aplicando Simpson com S2 = h3l[cos(0) + 4cosl(tfracpi360r) + cosl(tfracpi180r)r] :
  • , , .
  • Nós: .
  • Avaliamos em cada nó:
    ,
    ,
    .
    Fórmula de Simpson:

Passo 6

Agora o cálculo numérico (valores arredondados para verificação):
h=pi360approx0,0087266463,
cosl(tfracpi360r)approx0,99996192, cosl(tfracpi180r)approx0,99984770
Então
S2 approx 0.00872664633l[1 + 4cdot0.99996192 + 0.99984770r] approx0,0174524064,,
que já tem erro menor que .

Resposta

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