Calcule pela Regra dos Trapézios e de Simpsons o valor da integral
integral0^3 sen(x^2) d x
usando 6 subintervalos. Estime o erro em cada caso.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente aproximar
integral0^3sin(x^2),dx
usando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson, cada uma com subintervalos, e depois estimar o erro de cada aproximação.
Matéria envolvida: métodos de integração numérica (regra composta do trapézio e de Simpson) e estimativa de erro via derivadas de ordem 2 e 4.
Para resolver, vamos precisar:
  1. dividir em 6 pedaços de mesmo tamanho ;
  2. calcular os valores ;
  3. aplicar as fórmulas compostas;
  4. usar as fórmulas de cota de erro, que envolvem e em .

Passo 2

Calcular h=b-an=3-06=0.5, xi = 0 + icdot0.5,;i=0,1,dots,6 e os nós x0&=0, &f0&=sin(0^2)=0, x1&=0.5, &f1&=sin(0.5^2)=sin(0.25)approx0.2474, x2&=1.0, &f2&=sin(1)=0.8415, x3&=1.5, &f3&=sin(2.25)approx0.7781, x4&=2.0, &f4&=sin(4)approx-0.7568, x5&=2.5, &f5&=sin(6.25)approx-0.0332, x6&=3.0, &f6&=sin(9)approx0.4121 :
Vamos anotar rapidamente

Passo 3

Regra composta dos Trapézios:
Tn = h(tfrac12f0 + f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + tfrac12f6)
Substituindo:
T6 = 0.5(0 + 0.2474 + 0.8415 + 0.7781 - 0.7568 - 0.0332 + 0.5cdot0.4121) approx 0.6415

Passo 4

Regra composta de Simpson:
Sn = h3(f0 + 4(f1+f3+f5)+2(f2+f4)+f6)
Substituindo:
S6 = 0.53(0 +4(0.2474+0.7781-0.0332)+2(0.8415-0.7568)+0.4121) approx 0.7584

Passo 5

Estimativa de erro – usamos as fórmulas:
Erro do Trapézio
f''(x)=2cos(x^2)-4x^2sin(x^2) Longrightarrow |f''(x)|<= 2+4x^2<=2+4cdot3^2=38 .
Como |ET|<=3^312cdot6^2cdot38 =27432cdot38approx2.38 ,
f^(4)(x)=-(12+16x^4)sin(x^2) Longrightarrow |f^(4)(x)|<=12+16x^4<=12+16cdot3^4=1308
Logo
|ES|<=3^5180cdot6^4cdot1308 =243180cdot1296cdot1308approx1.36
Erro de Simpson
.
Calcula-se
Então

Resposta

Trapézio composto com boxedT6approx0.6415, |ET|<=2.38 :
boxedS6approx0.7584, |ES|<=1.36
Simpson composto com :

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