Determine o polinômio interpolador da forma de Newton para os seguintes pontos
(0,1),(1,2),(2,5) e (3, 192)
Calcule o valor aproximado da função que define os pontos dados nos valores 1,5,2,1 e 3.5.

Passo 1

Beleza, estamos trabalhando com interpolação polinomial no formato de Newton. O enunciado diz que temos os pontos
(0,1),;(1,2),;(2,5);e;l(3,tfrac192r)
e pede para:
  1. Encontrar o polinômio interpolador de Newton que passa por esses quatro pontos.
  2. Calcular o valor aproximado desse polinômio em , e .
Para tocar o barco, vamos usar o conceito de diferenças divididas, que é a base da forma de Newton.

Passo 2

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem, ou seja
f[xi,xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1-xi
Com nossos pontos:
  • .
  • .
  • .

Passo 3

Agora as diferenças divididas de segunda ordem:
f[xi,xi+1,xi+2] = f[xi+1,xi+2] - f[xi,xi+1]xi+2-xi

Passo 4

Por fim, a diferença dividida de terceira ordem:
f[x0,x1,x2,x3] = 0,75 - 13-0 = -0,253 = -tfrac112approx -0,08333

Passo 5

Com todas as diferenças em mãos, montamos o polinômio de Newton:
P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-0) + f[x0,x1,x2](x-0)(x-1) + f[x0,x1,x2,x3](x-0)(x-1)(x-2)
Substituindo os valores que achamos:
P(x) = 1 + 1cdot x + 1cdot x(x-1) - tfrac112,x(x-1)(x-2)
Se quiser, dá para expandir:
P(x) = -tfrac112x^3 + tfrac54x^2 - tfrac16x + 1

Passo 6

Basta agora avaliar P(1,5) = -tfrac112(1,5)^3 + tfrac54(1,5)^2 - tfrac16(1,5) + 1 approx 3,28125 em P(2,1) approx -tfrac112(2,1)^3 + tfrac54(2,1)^2 - tfrac16(2,1) + 1 approx 5,39075 , P(3,5) approx -tfrac112(3,5)^3 + tfrac54(3,5)^2 - tfrac16(3,5) + 1 approx 12,15625 e .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Polinômio interpolador de Newton:
boxedP(x) = 1 + x + x(x-1);-;tfrac112,x(x-1)(x-2)
ou expandido
P(1,5)approx 3,28125, P(2,1)approx 5,39075, P(3,5)approx 12,15625
Valores aproximados:

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