Calcule o resto da divisão de 2^12 por 13.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: “Calcule o resto da divisão de 2^12 = 13cdot q + r, 0 <= r < 13 por 13.” Isso é Aritmética Modular, ou seja, a gente quer achar o número tal que
Para resolver vamos usar a ideia de “reduzir pelo módulo” a cada multiplicação, evitando trabalhar com números gigantes.

Passo 2

Antes de partir pros cálculos, entenda dois pontos chave:
  1. Resto de divisão: se você divide um número (a cdot b) bmod m = l[(a bmod m)cdot(b bmod m)r]bmod m por , sobra um valor (o resto) com .
  2. Propriedade modular:
Ou seja, após cada multiplicação a gente já reduz mod 13 pra manter os números pequenos.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo, de 1 até 12:
  1. . Logo .
  2. . Logo .
  3. . Logo .
  4. . Reduzindo: .
  5. . Logo .
  6. . Logo .
  7. . .
  8. . .
  9. . .
  10. . Logo .
  11. . .
  12. . Por fim, .

Resposta

O resto da divisão de por 13 é 1.

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