Mostre que a equação x^3+7 x+17=0, não possui nenhuma solução inteira.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que a equação
x^3 + 7x + 17 = 0
não tem nenhuma solução inteira.
Conteúdo da matéria: aritmética elementar, mais especificamente a ideia de número par e ímpar (paridade).
O que vamos precisar: entender que todo inteiro é ou par ou ímpar, e ver que, para qualquer inteiro que eu substitua em x^3+7x+17, o resultado é sempre um número ímpar. Como zero é par, não pode ocorrer igualdade.

Passo 2

Teoria da paridade (módulo 2):
  • Um número inteiro x é par se x=2k para algum inteiro k.
  • É ímpar se x=2k+1 para algum inteiro k.
    Em ambos os casos vamos calcular
f(x)=x^3+7x+17
e mostrar que f(x) é sempre ímpar.

Passo 3

Caso 1: x é par, x=2k.
f(2k)=(2k)^3+7(2k)+17 =8k^3+14k+17 =2l(4k^3+7kr)+17
Agora, 17=2cdot8+1, logo
f(2k)=2l(4k^3+7k+8r)+1,
que é um número ímpar (da forma 2(dots)+1).

Passo 4

Caso 2: x é ímpar, x=2k+1.
f(2k+1)=(2k+1)^3+7(2k+1)+17 =8k^3+12k^2+6k+1+14k+7+17
Agrupando termos:
8k^3+12k^2+20k+25 =2l(4k^3+6k^2+10k+12r)+1,
novamente um número ímpar.

Resposta

Em ambos os casos f(x) é ímpar, mas 0 é par. Logo não existe inteiro x tal que
x^3+7x+17=0
Portanto, a equação não possui solução inteira.

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