Mostre que a equação
, não possui nenhuma solução inteira.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que a equação
não tem nenhuma solução inteira.
Conteúdo da matéria: aritmética elementar, mais especificamente a ideia de número par e ímpar (paridade).
O que vamos precisar: entender que todo inteiro é ou par ou ímpar, e ver que, para qualquer inteiro que eu substitua em
Passo 2
Teoria da paridade (módulo 2):
- Um número inteiro
é par se para algum inteiro . - É ímpar se
para algum inteiro .
Em ambos os casos vamos calcular
e mostrar que
Passo 3
Caso 1:
é par,
.
Agora,
, logo
que é um número ímpar (da forma
).
Passo 4
Caso 2:
é ímpar,
.
Agrupando termos:
novamente um número ímpar.
Resposta
Em ambos os casos
é ímpar, mas
é par. Logo não existe inteiro
tal que
Portanto, a equação não possui solução inteira.