Calcule o resto da divisão de
por 51 e o resto da divisão de
por 29.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente achar dois restos de divisão bem grandões:
- o resto de
dividido por 51 - o resto de
dividido por 29
Isso é conteúdo de aritmética modular e, mais especificamente, da Teoria de Números com a ideia do Teorema de Euler. Para resolver, a gente vai usar:
- A função totiente de Euler
, que diz quantos números menores que são primos com . - O Teorema de Euler: se
, então
Com isso, dá pra reduzir exponenciais gigantes a coisas bem mais simples.
Passo 2
Primeira parte: resto de
.
- Calcular
. Como e é multiplicativa:
- Como
, pelo Teorema de Euler:
Passo 3
Agora reduzimos o expoente 34:
Então só falta
. Logo
Passo 4
Segunda parte: resto de
.
- Calcular
. Como 29 é primo, . - Como
, vale
Passo 5
Reduzimos o expoente 63 em relação a 28:
Bora calcular
módulo 29 passo a passo:
5 =25
5 =25·5=125≡125−(29·4)=125−116=9
5 =9·5=45≡45−29=16
5 =16·5=80≡80−58=22
5 =22·5=110≡110−87=23
5 =23·5=115≡115−(29·3)=115−87=28
5
5
5
5
5
5
Então
Resposta
Resto de
por 51 = 49
Resto de por 29 = 28
Resto de